等電位力線と電気力線の関係

質問

等電位力線と電気力線の関係について教えてください。　あと領域(０≦ｘ≦ａ),(０≦ｙ≦ｂ)中に２つの平行に置かれた電極(ａ1≦ｘ≦ａ2),(ｂ1≦ｙ≦ｂ1+h)および(ａ1≦ｘ≦ａ2)(ｂ2≦ｙ≦ｂ2+h)があるとして、領域をメッシュに分け、その格子点で電位が与えられる場合、等電位線を描くために、どのようなアルゴリズムが考えられますか？

回答No.1

Umada · ベストアンサー

「等電位線」または「等電位面」ですね。
電気力線は常に等電位面/線と垂直に交わります。ある点における電気力線はその点における等電位面の勾配の方向を示すものです。

ベクトル演算をご存じでしょうか(知らなくても以下に従えば、計算はできます)。
各点の電位を与える関数をφ(r)として(rは各点の位置ベクトル)、 電界を表すベクトルEは
　E = -grad φ
で与えられます。
演算　grad　は
(∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)で与えられる演算です。

例えば、空間中の原点にρなる点電荷が 置かれていたとすると、周辺の電位φは
　φ=ρ/4πε√(x^2+y^2+z^2))
と与えられます。

上の式に従って演算すると
　E = ρ/4πε(-x/r^(3/2), -y/r^(3/2), -z/r^(3/2))
と、ベクトルの3つの成分として求められます。(rは点電荷からの距離で、r=√(x^2+y^2+z^2)を用いて整理して表現しています)
電気力線は各点で電界の方向を計算し、それを微小な間隔でつなげば描けます。
もし2次元の問題であれば、zは恒等的に0とおいて上の式を読み替えて下さい。、

複素関数の「等角写像」を用いれば電気力線-等電位面の関係は解析的に一気に求まりますが、上記のお話はどうやら有限要素法からのアプローチのようですので省きます。(と申し上げますか、説明できるほど詳しくは私が理解していないので・・・すみません)

お礼

わかりやすい回答をありがとうございます。感謝しております。

回答No.2

Umada

すみません、二つ間違えていました。
最後の、電界を表すベクトルEの各成分は
　E = ρ/4πε(-x/r^3, -y/r^3, -z/r^3)
でした。

また、描くものは電気力線でなく等電位面(線)ですね。質問を早とちりしていました。
アルゴリズムについては詳しく知りませんが、ひたすら電位の同じ点をつないでいくのみです。
(要求精度によっては、メッシュ間で案分する必要もあるでしょう)