電気力線のなす角度

質問

こんにちは。大学1年です。次の問題について質問させて下さい。
「ｘ軸上に２つの正電荷ｑ１、ｑ２があり、ｘ軸とθ１の角度でｑ１から出た電気力線は無限遠方でｘ軸とどのような角度をなすか。」
解説には、ｑ１、ｑ２の位置をＡ，Ｂとし、電気力線上の１点をＰとするとき、ＰＡ，ＰＢがＡＢとなす角をφ1、φ2とすると、
ｑ１sin^2（φ1/２）＋ｑ２sin^2（φ2/２）＝一定なので・・・
とあるのですが、なぜこれが成り立つのかが分からないのです。
どなたか解説をお願いします。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

球の表面積の一部を積分によって求めるには、高校数学の範囲で計算できると思います。以下に、計算の概略だけを簡単に説明しますが、詳しくは、ご自分で図を描きながら考えて下さい。
AからPを円周上の一点とする円板を見込む立体角を計算するには、AP＝ｒとしてAを中心とする円、
x^2 +y^2＝r^2 ・・・（１）
を描きます。この円の周の一部分（rcosφ1<=x<=r)をｘ軸を回転軸として回転させたときの面積が、求めようとする面積です。
この、円の周の一部分の長さをLとすると、
ｄL＝√{1+(y')^2}dx　（rcosφ1<=x<=r) ・・（２）
となります。（高校で習う公式です。）
求めようとする球の一部分の面積をSとすると、
ｄS＝2πｙ×ｄL　・・・（３）
となります。
(1),(2),(3)より、
S＝∫[rcosφ1～r]2πy√{1+(y')^2}dx　
この手の計算は普通、三角関数で置換積分をするのですが、この場合はその必要がなく、直接求められます。続きを書けば、
S＝∫[rcosφ1～r]2π√(r^2-x^2)√{r^2/(r^2-x^2)}dx
＝2πr[x](rcosφ1～r)=2πr(r-rcosφ1)=2πｒ^2(1-cosφ1)となります。

Aから円板を見込む立体角をω1とすると、立体角の定義より、
ω1＝S/r^2＝2π(1-cosφ1)
となります。
以上、概略だけですが、あとは、ご自分で考えて下さい。

お礼

二度もすみません（＞＜）
もう一度自分で解きなおしてみようと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.1

ojisan7

これは、一直線上に並んだ点電荷について、同じ電気力線上で、一般的に成り立つ性質です。Pをｘを軸に一回転させた円板をAから見込む立体角をω1,Bから見込む立体角をω2とすると、
ω1＝2π(1-cosφ1)
ω2＝2π(1-cosφ2)
（この計算は、球の表面積の一部を積分によって求めます。）

ｑ1,ｑ2からそれぞれ、ｑ1/ε0 ,ｑ2/ε0本の電気力線が出るので、各電荷から出て、円板を通る電気力線の本数は、それぞれ、
q1ω1/4πε＝q1(1-cosφ1)/2ε0
q2ω2/4πε＝q2(1-cosφ2)/2ε0

従って、電気力線の合計本数は、
q1(1-cosφ1)/2ε0＋q2(1-cosφ2)/2ε0
となり、これは、Pを通る電気力線上で一定です。（Pを通る電気力線上の他の点P’を考えて、上と同じことを考えればよいでしょう。）

従って、
q1(1-cosφ1)/2ε0＋q2(1-cosφ2)/2ε0＝const
∴q1cosφ1＋q2cosφ2＝一定
となります。この性質は大切ですから、しっかり覚えておいて下さい。この式から、三角関数の半角公式を使えば、求めようとする式が自然に導かれるはずです。確かめて下さい。

補足

ojisan7様、とても丁寧な解説ありがとうございます！
ほとんど理解できたのですが、
なぜ立体角がω1＝2π(1-cosφ1)、ω2＝2π(1-cosφ2)になるのかが
どうしても分かりません・・・。
「球の表面積の一部を積分によって求める」方法が分かりません。
ここの解説をお願いできますでしょうか・・・？