分かる方回答をお願いします

質問

単位の強さの入力 1×e^-iωt に対して出力 G(ω)e^-iωt を示す回路があ
る。また、この回路は、階段関数に比例する入力 (e^-λt)θ(t) に対して、出力
F(t)=(1-e^-αt)（e^-λt）θ(t)
を示すという。
(1) 応答関数G(ω)を決定せよ。
(2) パルス状の入力 f(t)=Aδ(t) に対するこの回路の応答を求めよ。

という問題が全く分からないです。

わかる方教えていただけるとありがたいです。
全てじゃなく途中まででもわかる方も教えて下さいm(_ _)m

回答No.1

SKJAXN

見難くて申し訳ありませんが、テキスト入力のため定積分を{a→b}∫f[x]dxと表現させていただきます。すいませんが、あまり自信はありません。

(1) ラプラス変換を使ってみます。ラプラス変換の式は、ラプラス演算子s(=i*ω)と時刻tを用いて、
G(s)={0→∞}∫F[x]*exp(-st)dt →{1}

で定義されています。例えばaを定数としてexp(-at)をラプラス変換すると、
G(s)={0→∞}∫exp(-at)*exp(-st)dt
={0→∞}∫exp(-(a+s)t)dt
=-1/(a+s)*{0→∞}[exp(-(a+s)t)]=1/(a+s) →{2} ∵exp(-(a+s)∞)=0より

となります。またθ(t)は階段関数であるため、t<0のときは0、t≧0のときは1となります。
まず入力x1[t]≡exp(-λt)θ(t)をラプラス変換しますが、t≧0のときθ(t)=1であるため、exp(-λt)を変換することになります。式{2}より、ラプラス変換の結果は、
X1[s]=1/(λ+s) →{3}

次に出力y1[t]≡(1-exp(-αt))*exp(-λt)θ(t)をラプラス変換します。変形すると、
y1[t]=exp(-λt)-exp(-(α+λ)t)となりますので、やはり式{2}より、ラプラス変換の結果は、
Y1[s]=1/(λ+s)-1/(α+λ+s)=α/((λ+s)*(α+λ+s)) →{4}

よって伝達(応答)関数は、
G[ω]=Y1[s]/X1[s]=α/(α+λ+s)=α/(α+λ+i*ω) →{5}

です。

(2) パルス入力δ(t)は、t=0のとき∞、t≠0のとき0となります。これをラプラス変換すると1になるため、このA倍が入力となります。よって式{5}より、
Y2[s]=G[s]*X2[s]=α/(α+λ+s)*A →{6}

これを式{2}から割り戻すと、
y2[t]=α*A*exp(-(α+λ)t)

いかがでしょう？