フーリエ係数の求め方を教えてください。
本屋にいってもさらに抽象化して直交関数で展開している場合と、
１次元のことしか書いていない本しかなく、困っています。
以下のことについて教えてください。
（Ｑ１）
フーリエ級数の定義は以下の内容でいいですか？
F(x,y,z)
={\sum}^{∞}_{m1=-∞,m2=-∞,m3=-∞}[A(m1,m2,m3)*exp(<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)]
要は、
[A(m1,m2,m3)*exp(i<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)]
を全てのm1,m2,m3にわたって和した級数で、<|>はEuclid内積、*はスカラー積,iは虚数単位
但し、簡単のためFが3変数実数値（複素数値でもいい？）とし、A(m1,m2,m3)は、
それぞれ複素定数、その他G（波数）やT（周期）等の個々の記号詳細な定義は、
以下に記載の通り
（Ｑ２）
A(m1,m2,m3)の計算法は、以下の内容でいいですか？
A(m1,m2,m3)={\int}_{V}[F(x,y,z)*exp(i<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>]dxdydz
但し、Vは、以下の定義式で定まる領域
V={s1*{T}_{1}+s2*{T}_{2}+s3*{T}_{3}|0≦s1≦1,0≦s2≦1,0≦s3≦1}
であり、要は、
F(x,y,z)*exp(i<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)を
V（ユニットセル）上で３重積分したもの。
（Ｑ３）
F(x,y,z)が二乗可積分で、{T}_{1}, {T}_{2},{T}_{3}がFの周期であるとき、
Fは、フーリエ級数展開可能ですか？
注)少なくとも、
K=(k1,k2,k3)と、L=({l}_{1},{l}_{2},{l}_[3})が、
<K|L>=2zπ (zは実数)であるとき、
Lは exp i(K*X)の周期であるので、右辺が、周期T(m1,m2,m3)を持つことは
確認したつもりなので、この逆が成り立ちますか？
（Ｑ４）
どうも周期には２つの種類があるような気がします。片方を
普通の周期、もう片方を半自明な周期とでも呼ぶことにします。即ち、
*半自明な周期：
TがFの周期であり、かつ、任意の”実数”λに対して、λTもFの周期である。
*普通の周期：
TがFの周期であり、かつ任意の整数zに対してzTが周期であり、かつ、Tは半自明な周期でない。
上記は勝手に定義しただけですが（まともな言い方があったら教えてください）、
例えば、ベクトルa=(a1,a2,a3)に対し、
<a|K>=0 ⇒ aは、exp i(K*X)の半自明な周期
<a|K>\neq 0⇒ (\frac{2\pi a}{|a|} は、普通の周期
となります。
さて、例えば、{T}_{1}, {T}_{2},{T}_{3}のうち{T}_{3}のみが上の意味で半自明だと
とします。このとき、
F(x,y,z)
={\sum}^{∞}_{m1=-∞,m2=-∞}[A(m1,m2)*exp(<G(m1,m2,m3)|(x1,x2,x3)>)]
のように、縮減できませんか？
【記号の詳細な定義】
但し、関数
F(x1,x2,x3,...,xn)
は、実数値関数又は複素数値関数で、実n変数関数とする。
また、
GとTはn次実正方行列で、（ベクトル積を使うのが面倒なので）
G=(gij)
T=(tij)
は、
G*T=2πE (但し、Eは単位行列)で、
をみたすとする。(gij)等ダブルサフィックスと考える
Tj=(t1j,t2j,t3j,...,tnj)：行列Tの第j列ベクトル
Gi=(gi1,gi2,gi3,...,gin)：行列Gの第i行ベクトル
また、但し、{m}_{1},...,{m}_{k}は、いずれも整数。
T({m}_{1},...,{m}_{k})=Σ{m}_{k}{T}_{k}
G({m}_{1},...,{m}_{k})=Σ{m}_{k}{T}_{k}
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お礼
ありがとうございました。 とても助かりました。 教えて頂いたサイトを参考に致します。