コリオリ力について。物理II

質問

質問お願いします。「北半球でコリオリ力は高気圧から吹き出す気流や低気圧に吹き込む気流の進路を右のほうにそらすように働く。日本で北方にロケットを発射すると発射直後の進路も右の方にそれるのだろうか。地球の自転の角速度ベクトルの向きは南極から北極の方を向いていることに注意せよ」という問題で画像のようなベクトルと外積をつかってとけと言われたのですがまったくわかりません。答えは、左の方にそれるでした。

回答No.2

SKJAXN

見難くて申し訳ありませんが、テキスト入力のため物理量Xのベクトル表記を#X、スカラー積を*、ベクトル外積を×とさせていただきます。

コリオリの力は地球が自転するために発生する見かけの力で、地球上に居ない人がこの運動を眺めているとそのような力は無いことが明らかに分かります。地球は反時計回りで自転しますから、右ネジの法則の要領で、右手で反時計回りの方向に回すと、親指が上を向きますね。これが問題中の「地球の自転の角速度ベクトルの向きは南極から北極の方を向いていることに注意せよ」の意味です。逆に地球上の人は地球外の固定物を見たとき、時計回りしている、すなわち右に逸れていくように見えます。まとめますと、地球上の視点からは、親指が南極から北極方向を向いた場合は右に逸れ、逆に向いた時は左に逸れると言えます。また、ロケットは北方に発射したと言っても、重力の影響により、ほぼ地球表面に沿って運動するでしょう。

地球の中心を原点に取り、地球の公転方向をx軸、地球に対して太陽系の外側から太陽を見る方向をy軸、南極から北極の方向をz軸とする座標系を設けたときのロケットの発射位置およびその位置に居る観測者の座標P1,Q1を、地球の半径をR、日本の緯度をθoとして[Rcosθo, 0, Rsinθo]とします。ロケットが北方に発射されるということは、地球の中心から位置P1に対する方向に対し、左90°に発射されたことになります。t秒後に緯度θだけ北方の位置P2に達したとすると、その座標は[Rcos(θo+θ), 0, Rsin(θo+θ)]と書けます。また、観測者のt秒後における位置Q2は、地球の自転角速度をωoとすると、その座標は[Rcosθo*cos(ωo*t), Rcosθo*sin(ωo*t), Rsinθo]と書けます。ここでロケットも地球の表面方向に運動しているため、ロケットの角速度をω1とすると、θ=ω1*tです。このとき、観測者から見たロケットの位置ベクトル#r[t]は、
#r[t]=[Rcos(θo+ω1*t)-Rcosθo*cos(ωo*t), -Rcosθo*sin(ωo*t), Rsin(θo+ω1*t)-Rsinθo]

これは地球上の視点からのロケットの位置を表します。また、ロケットの速度ベクトル#v[t]はP2を微分して
#v[t]=[-R*ω1*sin(ω1*t), 0, R*ω1*cos(ω1*t)]

ここで、観測者から見たロケットの角運動量#L[t]を計算します。角運動量の定義は、ロケットの質量をmとすると、
#L[t]=#r[t]×m*#v[t]

で表されます。向きは外積なので、#r[t]の方向から#v[t]の方向に右手で右ねじを回すように表現したとき、親指が指す向きです。式で表すと、#r[t]=[ri, rj, rk]、#v[t]=[vi, vj, vk]とおいた場合、
#L[t]=m*[rj*vk-vj*rk, rk*vi-vk*ri, ri*vj-vi*rj] →{1}

で計算できます。ここでは、地球の自転速度よりもロケットの方が十分に速く(飛行機以上)、数秒間で見えなくなる状況を仮定し、またφが小さい場合、sin(φ)=φ、cos(φ)=1と近似できる状態として解析します。式{1}に従い計算すると、
#L[t]=m*R^2*ω1*[-cosθo*(ωo*t)*cos(ω1*t), -{sin(θo+ω1*t)-sinθo}*sin(ω1*t)-{cos(θo+ω1*t)-cosθo}*cos(ω1*t), -cosθo*(ωo*t)*sin(ω1*t)]
=m*R^2*ω1*[-cosθo*(ωo*t)*cos(ω1*t), -(1/2)*cos(θo+ω1*t/2)*sin(ω1*t/2)*sin(ω1*t)+(1/2)*sin(θo+ω1*t/2)*sin(ω1*t/2)*cos(ω1*t), -cosθo*(ωo*t)*sin(ω1*t)]
=m*R^2*ω1*[-cosθo*(ωo*t)*cos(ω1*t), (1/2)*sin(ω1*t/2)*{cos(θo+ω1*t/2)*sin(ω1*t)-sin(θo+ω1*t/2)*cos(ω1*t)}, -cosθo*(ωo*t)*sin(ω1*t)]
=m*R^2*ω1*[-cosθo*(ωo*t)*cos(ω1*t), -(1/2)*sin(ω1*t/2)*sin(θo-ω1*t/2), -cosθo*(ωo*t)*sin(ω1*t)]

以上より#L[t]の向きは、時刻tの経過とともに下を向いていきます(冒頭に申し上げたとおり、地球上の視点では左に逸れていくときが下向きでしたね)。よって、ロケットは左に逸れることが分かります。

いかがでしょう？

お礼

専門的なご回答ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.1

jgk99

専門的な説明はできません。
他の方の説明をお待ちください。
だだ、ドイツ軍の列車砲(長距離の弾道を持つ大型砲)や戦艦の大砲などもコリオリの力を考慮して発射方向を定めていたと何かで読んだことがあります。