確率の問題

質問

こんにちは、確率の問題で分からないものがあります。以下の問題です。よろしくお願いいたします。

一様分布に従う乱数を用いて、以下の手続きQによってある分布に従う乱数を得ることができる。ここで、λは正の定数である。手続きQによって得られるKの値がｔとなる確率P（K=t）を求めよ

手続きQ
開区間(0,1)上の一様分布に従う乱数列ui(i≧1)を順次発生させzi(i≧1)を順に以下のように計算し、初めてzn＜exp(-λ)を満たすnに対してK＝n-1とする

z1=u1
z2=z1u2
z3=z2u3
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zn=zn-1un
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というものです。例えばz3ならｚ３＝u1u2u3のように書き表わせるのだなとは思ったのですが、そこからどうやって答えを導き出せばいいのかわかりません。よろしくお願いいたします。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.3です。
　丁寧なお礼をありがとうございます。

＞u(t)=exp(-λ)/z(t-1) のとき　v(t)=0
＞u(t)=1 のとき　v(t)=v(t-1)
＞についてがよく分かりません。

　すみません。v(t)の定義式に誤記がありました。
　　v(t)=λ+Σ[i=1→t] log{u(i)} として計算してください。
(誤)v(t)=λ+Σ[i=1→t] log{u(t)}

お礼

ありがとうございます、できました。
説明されて、実際に書いてみて、結構考えてようやく変換の定義が分かりました。これをいざ解けと言われると難しいですね。
いとも簡単に変換の定義が思いかれるのはすごいと感心するばかりです。

回答ありがとうございました。

回答No.6

Mr_Holland

ANo.3/4です。
　今度も丁寧なお礼をありがとうございます。

＞いとも簡単に変換の定義が思いかれるのはすごいと感心するばかりです。

　簡単ではなかったですよ。
　Tacosanさんが示されたように私も具体的なP(K=0),P(K=1),P(K=2),P(K=3)と当たりをつけてからP(K=t)の計算をしました。最初は変数変換をせずにベタで後ろから積分しましたよ。やっていくと定積分の結果が規則性のある形になってくるので、なんとかこれを利用できないかと考えて思いついたものがANo.4で示した変数変換でした。何かのヒントさえあれば結構思いつくものなんだなと思いました。数学的帰納法を使うのかいろいろ考えた挙げ句の回答ですから簡単とはほど遠いものです。

　この問題、結果が綺麗な形をしているだけに面白いですよね。
　よい問題に触れさせてもらったと喜んでいます。

お礼

わざわざお返事ありがとうございます。

なるほど。まずは具体的に計算をすることが大切なのですね。解法を思いつくまでのアプローチまで教えていただきありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

#2 のようにベタにやってもいちおうできることはできる.
確かに重積分がうっとうしいが, 「答えはでないみたいです」ということはない.

お礼

なるほど、ありがとうございました。

回答No.3

Mr_Holland

確率P(K=t)は、u(1)が半開区間[exp(-λ),1)にあって、かつu(2)が半開区間[exp(-λ)/z(1),1)にあって、かつ・・・、かつu(t)が半開区間[exp(-λ)/z(t-1),1)にあって、かつu(t+1)が開区間(0,exp(-λ)/z(t))にある確率なので、次式のように表せます。

P(K=t) = P(u(1)|exp(-λ)≦u(1)<1) P(u(2)|exp(-λ)/z(1)≦u(2)<1) ・・・ P(u(t)|exp(-λ)/z(t-1)≦u(t)<1) P(u(t+1)|0<u(t+1)<exp(-λ)/z(t))

　これを積分の式で表せば
P(K=t) = ∫[u(1)=exp(-λ)→1] du(1) ∫[u(2)=exp(-λ)/z(1)→1] du(2) ・・・ ∫[u(t)=exp(-λ)/z(t-1)→1] du(t) ∫[u(t+1)=0→exp(-λ)/z(t)] du(t+1)　　　　・・・・・☆
となり、これを計算します。

　とりあえず式☆の最後の定積分を実行しますと
∫[u(t+1)=0→exp(-λ)/z(t)] du(t+1) = exp(-λ)/{u(1)u(2)・・・u(t)}
となりますので、式☆を次のように変形します。
P(K=t) = exp(-λ) ∫[u(1)=exp(-λ)→1] du(1)/u(1) ∫[u(2)=exp(-λ)/z(1)→1] du(2)/u(2) ・・・ ∫[u(t)=exp(-λ)/z(t-1)→1] du(t)/u(t)

　このまま進めると、z(t)がu(1),u(2),・・・,u(t)の従属関数になっていることから重積分が大変ですので、次の変数変換を行います。（v(t)はu(t)だけに依存するものとし、v(t)にとってu(1),u(2),・・・,u(t-1)は定数と見なします。）
　　v(t)=λ+Σ[i=1→t] log{u(t)}　　∴dv(t)=du(t)/u(t)
　　u(t)=exp(-λ)/z(t-1) のとき　v(t)=0
　　u(t)=1 のとき　v(t)=v(t-1)

P(K=t) = exp(-λ) ∫[v(1)=0→λ] dv(1) ∫[v(2)=0→v(1)] dv(2) ・・・ ∫[v(t)=0→v(t-1)] dv(t)

　あとは、この式を後ろから定積分していってください。

お礼

ありがとうございます。立体の体積を求める時のように重積分の形で表記して、それから求めていけばいいのですね。詳しくありがとうございます。特に変数変形の部分が重要ですね。
その、変数変形なのですが、たとえばu(1)の場合は
u(1)=exp(-λ)→1
v(1)=0→λ
となることは、代入すればすぐに分かるのですが、

u(t)=exp(-λ)/z(t-1) のとき　v(t)=0
u(t)=1 のとき　v(t)=v(t-1)
についてがよく分かりません。もしよろしければ詳しく教えていただけませんか。よろしくお願いいたします。

回答No.2

Tacosan

たとえば P(K=2) を求めるなら
z1 ≧ exp -λ かつ z1 z2 ≧ exp -λ かつ z1 z2 z3 < exp -λ
となる確率を求めればよく, これは
∫[z3: 0→exp -λ/(z1 z2)] dz3 ∫[z2: exp -λ/z1→1] dz2 ∫[z1: exp -λ→1] dz1
で求まります.

もっと一般の場合も同じで, P(K=t) を求めるときには (t+1)重積分を実行すればよい, ということになります... ただし, t=2 とか 3 とかで傾向を見ておかないと死にそうになるかもしれません.

お礼

おっしゃる通り式が導けただけでは重積分がいくつもあるので答えはでないみたいです。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

きちんとやったわけではないですが, おそらくまじめに確率を計算すればいいだけだと思います.

手間はかかりそうですが.

お礼

回答ありがとうございます。

「まじめに計算」の部分がどうやればいいのか分からなくて困っています。確率関数の合成ということでたたみこみ積分を利用するのでしょうか？