関数の変数分離について

質問

原点から等方的な関数 f(x,y) が与えられているとします。
これを近似でも良いので f(x,y) = g(x)g(y) という形に
分離する方法はありますでしょうか。
g(x)=Σaiφi(x)とおいて最小二乗法＋勾配法でaiを求める
方法を考えていますが、なかなかうまくいきません。
宜しくお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「原点から等方的」というのは、f(x,y) の値が
原点からの距離で決まり、偏角には依らない
という意味でしょうか？ そうであれば、
そのような関数は g(x) = k exp(xの2乗)
｛ k は定数 ｝ というものだけです。
x = r cosθ, y = r sinθ と置いて
∂f(x,y)/∂θ = 0 を変形すると、
g’(x) /｛ x g(x) ｝ = 一定 が導けて、
上記の g が求まります。

f(x,y) ≒ g(x) g(y) と近似できるかどうかは、
もともと f が、f(x,y) ≒ k exp(xの2乗+yの2乗)
と近似できるような関数かどうか次第でしょう。
その前提が成り立つなら、
f(x,y) / exp(xの2乗+yの2乗) がほぼ一定
でしょうから、それを定数で近似すればよいです。

お礼

詳しい解説有難うございます。良く分かりました。
等方的とはそのような意味で書きました。
説明不足ですいません。

厳密にはexpの形しかないのですね。
私が考えていた問題はσが異なるガウス関数の和
f(x,y)=Sum[exp(-(x*x+y*y)/σi]
を大雑把でも良いので、なんとか変数分離した形で
近似できないか考えていました。
（私は信号処理屋なのですが、分離できると畳込演算に
とても都合がよいのです）

回答No.2

alice_44

あ、違った。
g(x) = k exp(xの2乗) ではなく、
g(x) = exp(k xの2乗) ですね。

f(x,y) ≒ g(x) g(y) と近似できるのであれば、
｛ log f(x,y) ｝/ (xの2乗+yの2乗) が
ほぼ一定となるので、これを定数で近似します。