次の問題を証明してください、お願いします。

質問

W＝{(x,y)|x^2+y^2＞4}が開集合であることを示してください。

回答No.1

muturajcp

W={(x,y)|x^2+y^2>4}
∀(a,b)∈W
a^2+b^2>4だから
∃ε=[{√(a^2+b^2)}-2]/2>0
V={(x,y)|d((x,y),(a,b))=√{(a-x)^2+(b-y)^2}<ε}
∀(x,y)∈V
√(x^2+y^2)≧√(a^2+b^2)-√{(a-x)^2+(b-y)^2}
>√(a^2+b^2)-ε
=[{√(a^2+b^2)}+2]/2
>2
→x^2+y^2>4
→(x,y)∈W
→V⊂W
→下記開集合の定義からWは開

距離dに関する開集合の定義)
Wは開
←def→
∀a∈W→∃ε>0({x|d(x,a)<ε}⊂W)