苦手な絶対値

質問

(2)の(i)お願いします。

絶対値苦手イメージが強いです。(1)は部分積分でできました

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。

>その文字変換はなにか意味があるのですか？そのままじゃできないですか？

| |の中を元の式と同じ形にするためにこのような変数変換を行っています。
この方法なら積分の計算を全く行わないで証明可能です。

変数変換をしないで解くことも可能です。この場合はこの積分を実際に計算します。
a≦-π/2の場合、-π/2<a<π/2の場合、π/2≦aの場合の3通りに分けます。

a≦-π/2の場合
-π/2<x<π/2においてx-a>0ですので| |はそのままはずれ
∫[-π/2→π/2] |x-a|sinxdx=∫[-π/2→π/2] (x-a)sinxdx

-π/2<a<π/2の場合
x<aでx-a<0,x≧aでx-a≧0ですので
∫[-π/2→π/2] |x-a|sinxdx=∫[-π/2→a] (-x+a)sinxdx+∫[a→π/2] (x-a)sinxdx

π/2≦aの場合
-π/2<x<π/2においてx-a<0ですので
∫[-π/2→π/2] |x-a|sinxdx=∫[-π/2→π/2] (-x+a)sinxdx

これらの積分を計算して、それぞれの場合でf(-a)の値を調べればよいでしょう。
この積分の値は(ii)で使用しますのでここで計算しておいても良いかもしれません。

お礼

なんでそんな親切なんですか？ポイントもらって賞品もらうためですか？賞品なにもらえるんすか？

回答No.1

rnakamra

f(-a)=∫[-π/2→π/2]|x+a|sinxdx
この積分でx=-tと置換しましょう。
f(-a)=∫[π/2→-π/2]|-t+a|sin(-t)(-dt)
ここで|-t+a|=|(-1)(t-a)||-1|*|t-a|=|t-a|
となります。あと符号が変わりそうな場所が3箇所。
その変形の後、t=xと文字を変更すればよし。

お礼

その文字変換はなにか意味があるのですか？そのままじゃできないですか？

補足

できましたが、なんかスッキリしません

なぜt=-xのはずなのにtをxにそのまま戻せるの？