Laudan-Lifshitz（ランダウ-リフシッツ）方程式について

質問

Laudan-Lifshitz（ランダウ-リフシッツ）方程式の導出をできるだけわかりやすく教えてください。論文などいろいろ探しましたが、導出についてはありませんでした。もし、それがあるHPがありましたら海外サイト問わず教えてください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

ichiro0000さん、こんにちは。私はこの方面は全く素人なのですが、この機会に勉強させて頂きました。
　強磁性体内の有効磁場をHとした時、磁化ベクトルMが次の方程式に従うとします。
　∂M(r,t)/∂t = M(r,t)×H(r,t)
ここで、MもrもHもベクトルを表わします。r'にある磁化によって作られるrの磁場への寄与をJ(r,r')M(r')とすれば、
　H(r) = ∫dr' J(r,r')M(r')
となります(時間変数は省略しています)。M(r')をrの周りに展開すると
　M(r') = M(r)+(x'-x)Mx+(y'-y)My+(z'-z)Mz+
　+(1/2)[(x'-x)^2Mxx+(y'-y)^2Myy+(z'-z)^2Mzz+
　+2(x'-x)(y'-y)Mxy+2(y'-y)(z'-z)Myz+
　+2(z'-z)(x'-x)Mzx] +…
となります。これを上の積分に代入し、Jは等方的
　J(r,r') = J(|r-r'|)
と仮定し、積分変数をr'-rに変換すると、M(r), (x'-x)Mx, (x'-x)(y'-y)Mxyなどは対称性のために消えます。したがって最低次で上の積分は
　(1/2)∫drJ(|r|)[x^2 Mxx + y^2 Myy + z^2 Mzz]
となります。ここでMxxなどは積分記号の中では定点となる点での微係数なので積分記号の外に出すことができますが、対称性により、
　Mxx∫drJ(|r|)x^2
　= (1/3)Mxx∫drJ(|r|)[x^2+ y^2+ z^2]
なので求める積分は
　(1/6)ΔM∫drJ(|r|)r^2
となります。よって磁化に対して
　∂M(r,t)/∂t = αM(r,t)×ΔM(r,t)
　　α=(1/6)∫drJ(|r|)r^2
という方程式が得られますが、これがLandau-Lifshitzの方程式です。

補足

再度、質問があります。

回答文中の式

　　　　　H(r) = ∫dr' J(r,r')M(r')

の導出の過程がわかりません。特にJ(r,r')がどのように定義されているのか詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

grothendieck

Michael Moser et al.; Time evolution of Spin Waves という文献がWeb上にあり、参考になるかと思います。URLは書きませんがGoogleなどで検索すれば見つかると思います。

お礼

参考にさせていただきます。詳しく説明していただいたおかげで、ランダウ-リフシッツ方程式を理解することができました。ありがとうございました。

回答No.2

grothendieck

少し訂正させて頂きます。下で「M(r), (x'-x)Mx, (x'-x)(y'-y)Mxyの積分は消えます」と書きました。
(x'-x)Mx, (x'-x)(y'-y)Mxyは奇関数なので消えますが、M(r)の積分は消えないでしょう。M(r)に比例する項は、
　M(r)×M(r) = 0
であるために消えると思われます。

補足

ありがとうございました。

●さらに知識を深めるために参考文献、URL等ございましたら教えてください。