マクスウェル方程式から波動方程式の導出

質問

電磁気を知人からもらった本で勉強しているのですが，その本に、
「マクスウェルの方程式から、電磁波に関する波動方程式を導け。また、磁場ベクトルを発生させるのはどの方程式のどの項かを、理由と共に述べよ。」
という問題がありました。いろいろ調べて、なんとか波動方程式の導出はできたのですが、磁場ベクトルを発生させる項がわかりません。
わかる人がいれば、できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

phyonco · ベストアンサー

真空中で電荷も電流もない場合を考えます。EEとDD、HHとBBは同じものになるのでEEとBBで考えます。但し、ベクトルを表すのにEE等と書きます。
ファラデー : rot EE + dBB/(cdt)=0
Maxwell-Ampere: rot BB - dEE/(cdt) =0
単位系はcgs gaussを使っていて、cは真空中の光速です。
ファラデーのrotをとると、
0 = rot rot EE + d^2 EE/d^2/c^2
ところが電荷がないCoulomb: divEE=0　を使うと
rot rot EE = - D^2 EE
ここで　D^2 = (d/dx)^2 + (d/dy)^2 (d/dz)^2
と書けるのでファラデーのrotをとった式は
[ c^2 D^2 - (d/dt)^2 ]EE = 0
となりますが、これはEEに対する波動方程式に他なりません。
　上の計算ではファラデーのrotをとることによって磁場BBを消去しましたが、Maxwell-Ampereのrotをとれば電場の方を消去することが出来、
磁場に関するCoulomb div BB =0 を使えば、上と全く同じように
BBに関する波動方程式を導くことができます。
　「磁場ベクトルを発生させる」という言い方はおかしな言い方ですが、Maxwell-Ampereで電場が時間的に変化すれば磁場のrotが発生するという答えを期待しているのでしょう。ファラデーで電場のrotが変化したら磁場の時間的変化が変化する、という方も言わないと完全ではありませんね。波動方程式は２回微分ですから。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

BJT2000

こんにちは。

アンペールの法則をよく見てみてください。

rotH = i + ∂D/∂t

この式の意味は、
「電流密度の存在または電束密度の時間変動（変位電流といいます）は、磁場（の渦）を作り出す」
というものです。これが答えとなると思いますが、如何ですか？

波動方程式は、この変位電流がなければ導出できません。
変位電流のお陰で磁場が生まれ、磁場の変動が電場を作り出し(ファラデーの法則)・・・というループで電磁波が伝わるわけです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

お礼

回答ありがとうございました。