等比数列の和の問題の計算の過程で・・

質問

問題
１＊２，３＊４，５，６，７＊８,・・・
＊は仕切りだとおもってください。
位置から順に自然数を並べて上のように
一個、二個、四個、・・・となるように分ける。
ただし第n群が含む数の個数は2^n-1である。

問題がどうこうよりも
最後の計算ができないので、
過程はとばします。
過程は理解したので
下の計算をおしえてもらえれば十分です

1/2^n-1{2・2^n-1+(2^n-1 -1)・1}
=2^n-2(3・2^n-1 -1)
という計算。2^n-1と2^n-1をかけるとどうなるかすら
わかりません。
1/2と2^n-1をかけるとどうなるかもわかりません。
答えも「３」とかでててさっぱりなんです・・・
はじめてこんな計算に出会ったので混乱してます。
詳しいアドバイスを求めてます！！

回答No.2

shinchan_k · ベストアンサー

求めているのは、第n群に含まれている数の和ですよね。
途中の過程は理解されているということなので、省略して結局、
(1/2)*2^(n-1)*[2*2^(n-1)+{2^(n-1)-1}*1]
という式を簡単にしたいということですね。
後ろの括弧の部分は
2*2^(n-1)+2^(n-1)-1
となります。
2*2^(n-1)は2^(n-1)+2^(n-1)という意味なので
2*2^(n-1)+2^(n-1)-1=2^(n-1)+2^(n-1)+2^(n-1)-1
=3*2^(n-1)-1 （都合、2^(n-1）を３個足すことになる）
で、(1/2)*2^(n-1)の部分は
2^(n-1)は2を(n-1)個掛けるという意味なので、
これに1/2を掛けると(n-1)個の2のうち1個が約分されて(n-2)個になるので、
(1/2)*2^(n-1)=2^(n-2)
となります。で、答のような式が得られます。

回答No.1

sak_sak

「2^n-1」は「2のn-1乗」という意味だと思いますが、それをxと置いて考えてみてはどうでしょう?
{}の部分は、{2x+(x-1)×1}となりますから、(3x-1)となるのは納得できませんか?

{}の前の部分なんですが、2が1つ抜けてないですか?
文脈からして、1/2×2^n-1　だと思うので、それとして書きますが、
1/2をかけるというのは、2^n-1を2で割るということですよね?
2^5を2で割れば2^4となるように、指数の部分が1減るわけです。

もし指数について少し習っているのなら、
1/2というのは2^-1であり、
2の何乗どうしでの掛け算だから、指数を足すことができて、(-1)+(n-1)で、(n-2)となる。
という考え方でも解けます。