1階の常微分方程式
dy/dx = f(x, y)
の解
y = y(x)
に対して，初期条件
y0 = y(x0)
が与えられているなら，十分小さいhに対して，
y(x0 + h) ≒ y(x0) + y'(x0) h = y0 + f(x0, y0) h
が成り立ちます（1次近似）．
# この1次近似がオイラー法の根本的な原理であり，これが解らなければ，オイラー法が解っていないというよりも，微分という考え方がまだ理解できていないと思われますので，もしそうなら，1次近似について復習してください．
そこで，
x1 = x0 + h
と置くと，
y(x1) ≒ y0 + f(x0, y0) h = y1
と表せます．
この式で求められるy1は飽くまで近似値なので，真の解のグラフが点(x1, y1)を通るとは限らないのですが，当たらずとも遠からずってとこでしょうから，点(x1, y1)が真の解のグラフ上にあるものとみなし，この点で同じ近似を行います：
y(x2) ≒ y(x1) + y'(x1) h = y1 + f(x1, y1) h = y2
同じようにして，逐次近似を行っていくと，一連の近似値が得られます：
y1 = y0 + f(x0, y0) h,
y2 = y1 + f(x1, y1) h,
y3 = y2 + f(x2, y2) h,
y4 = y3 + f(x3, y3) h,
...
そこで，xにおける解の値y(x)の近似値が欲しければ，区間[x0, x]をn等分し（本当は等分でなくてもいいのですが，簡単のためそうします），それぞれの分点に
x0, x1, x2, ..., x[n-1], xn = x
と名前を付けると，
y1 = y0 + f(x0, y0) h,
y2 = y1 + f(x1, y1) h,
...
y[n-1] = y[n-2] + f(x[n-2], y[n-2]) h,
yn = y[n-1] + f(x[n-1], y[n-1]) h.
これがオイラー法です．
このやり方は素朴で分かりやすいのですが，誤差が蓄積しますので，精度はあまり良くありません．
で，今回の微分方程式
dy/dx = -2x y^2,
y(0) = 1
ですが，VBSで簡単なコードを書いてみました：
'Euler法
Option explicit
Function f(x, y)
f = -2*x*y^2
End Function
Dim x, xn, y, h
Dim n, i
'初期条件
x = 0
y = 1
xn = 1 '評価点
n = 10 '分割数
h = (xn - x)/n '幅
For i = 1 To n
y = y + h*f(x, y)
x = x + h
Next
MsgBox "y(" & xn & ") = " & y
これをメモ帳でも何でもいいからテキストエディタで拡張子.vbsのテキトーなファイル名で保存し，アイコンをダブルクリックすると，
y(1) = 0.503641976039014
とか値が出力されます．
この微分方程式は，ANo.2さんが回答してくださっているように解析的に解けるのですが（変数分離形），真の解は
y(1) = 0.5
なので，確かに「当たらずとも遠からず」って感じです．
