ベルヌーイの定理？

質問

基本的な質問かもしれませんが困ってます。断面積A[m2]のタンクがあり、流量Qi[m3/s]がタンクに流入され、流量Qo[m3/s]が流出しています。流出の位置はタンクの底と同じ高さの所にあります。タンク内水位をh[m]出口バルブの抵抗Rとすると、Qo=H/Rが成り立つと教科書に書いてあったんですがベルヌーイの定理だと、ｇ=√(2gh)で、√hに比例すると思うんですが...教科書に載ってた方の式が導出できません。入力Qi、出力hとしたときの伝達関数を求めるという問題をやってて疑問に思ったんです。お願いします。

回答No.2

noname#175206

ベルヌーイの定理は、非圧縮性の理想流体の定常流（流速の時間変化が0）についてのもので、流体の密度ρが一定、重力加速度がg、圧力がp、高度差がz（＝タンクの水面から出口バルブまでの高さ）、流速をvとして、
　　p + ρgz + ρ(v^2)/2 = 一定
というものです。makinobuさんがお示しの式は、どうやらトリチェリの定理のようで、水槽のの出口バルブが十分小さいとし、単位時間当たりの流出量が小さい＝液面の高さがほぼ一定のhだとすると、流出する流速は、
　　v = √(2gh)
になるというものです。これはベルヌーイの定理から導かれます。

お示しの「Qo=H/R」のほうは、粘性のある流体の定常流の法則のひとつ「ハーゲン-ポアズイユの法則」（(ハーゲン-)ポアズイユの流れ）から、導かれているのでしょう。
ハーゲン-ポアズイユの法則は、半径a長さLの細い円パイプに、粘性率η密度ρの流体が流れているとき、入り口と出口の圧力差をΔpとすれば、流量Qは、
　　Q = (πρΔpa^4)/(8ηL)
　　　（・・・つまりa,L,ρが変わらないなら、流量∝圧力差）
というものです。これはナヴィエ-ストークスの方程式から導かれます。

トリチェリ、ハーゲン-ポアズイユ、いずれも導出は長くなるので、流体力学の教科書で探してみてください（ネット検索であるかと思ったのですが、探し方が下手くそなせいで、いい説明が見つかりませんでした）。

お礼

お礼が遅くなりましたが、ありがとうございました。
そのような法則があるの知りませんでした。
流体力学についてすこし勉強してみます。

回答No.1

ElectricGamo

バルブに抵抗がないならそうかもしれませんが、流体がバルブを通る際に抵抗を受けるので、ベルヌイの定理で求めた速さで流れが通過するわけではありません。

例外もありますが、バルブの流量はバルブの前後の圧力差に比例します(水圧を電圧、流量を電流と読み変えてみるとオームの法則と同じ形です。)タンクの底の水圧は水位に比例するので、流量は水位(水圧)に比例するわけです。

簡単に言うなら R を Qo=H/R が成り立つように決めているからです。

お礼

お礼が遅れてすいません。ありがとうございました。
Rの定義を調べてみます。