ベクトルの演算について

質問

高校数学に関する質問です。

たとえば、
|sA+tB|　[A, B : それぞれ、ベクトルA、ベクトルBとします]

の計算をする際、2乗して展開するのは何故ですか？
参考書には「2乗して展開がセオリー」という旨で書かれています。
もちろん、小生は、そのセオリーで正解を導く事はできます。

丸暗記すれば済む事なのかもしれませんが、いささか腑に落ちません・・・

ご教授、よろしくお願い致します。

回答No.1

partita · ベストアンサー

たとえば
|x-5|=3という方程式があったとき、場合分けして解く方法もあれば、いきなりx-5=±3として解く方法もあります。広義にとらえたなら「絶対値記号をはずす」ことになります。場合分けも±を利用するのも「セオリー」です。

|sA+tB|も同様に、絶対値記号をはずすことがセオリー。たまたまそのときのテクニックが2乗することではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

＞|sA+tB|も同様に、絶対値記号をはずすことがセオリー。たまたまそのときのテクニックが2乗することではないでしょうか。

絶対値付きの方程式を場合分けして解く方法は存じております。

なるほど、「たまたま」そういう方法をとれば上手くいくから、と割り切ればいいのですね。

回答No.4

info22_

ベクトルの絶対値の定義とベクトルの内積は密接な関係があります。

ベクトルの絶対値の二乗＝（同じベクトルの）内積
これを利用してベクトルの絶対値を求めるのに内積の展開が使われるということでしょう。

詳細は参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/sennkei/node13.html

お礼

回答ありがとうございます。

参考URLも、大変勉強になりました。

回答No.3

alice_44

√ が付いていると、計算が面倒臭いからではないでしょうか。
ベクトル X = (x1, x2, x3, …, xn) の長さは
|X| = √{ (x1)^2 + (x2)^2 + (x3)^2 + … ＋(xn)^2 } です。
これは、ナゼといっても、ユークリッド空間での長さの定義だから
覚える以外にしかたがあリません。
X = sA + tB だと更に複雑な式になるし、とり扱いが面倒ですよね。
一旦 L = |X|^2 と置いて、|X| の替わりに L で扱える範囲は
L で扱っておけば、成分に関する二次式ですから、少し簡単です。
L の値が解れば、√L の値も解ることですしね。

お礼

回答ありがとうございます。

計算を簡素化するために2乗して展開するのですね。

これはもう割り切って暗記したいと思います。

回答No.2

1ypsilon1

ベクトルの概念が必要ですね。

まずベクトルとは、向きと長さが決められた矢印です。
数でもなんでもなく、矢印なんです！！

そこで、
|sA+tB|　というのは絶対値がついているので　sA+tB　の距離というのは大丈夫でしょうか？
ここで先ほども言ったことを合わせると、
sA+tB　は　A　を　s 倍したものと　B　を　t 倍したものの足し算です。
ベクトルの足し算は最初にやりましたね。
結局のところ　sA+tB　も矢印であることには何ら変わりません。

矢印の長さを表したい…でも　sA+tB　は矢印であってなんもわかりません。

そこで２乗してあげます。
すると
s^2×|A|^2 + 2×A・B + t^2×|B|^2

|A|，|B|　はA，Bの長さ
A・B はAとBの内積
となり計算できます。

大事なことはベクトルは矢印ということです！！

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど「矢印を消してしまう」ために2乗すると考えればいいのですね。

矢印を取り除いた「量」を求めたいから、という事なんですね。