多面体の内部の格子点についての質問です。

質問

頂点（０，０，０）、（０，ｎ，ｎ，）、（ｎ，０，ｎ）、（２ｎ，ｎ，０）からなる四面体の表面または内部に存在する格子点の個数を求めよです。

大まかな解き方だけでも良いのでどなたかわかるかた宜しくお願いいたします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

地道に数える方法として、

頂点をO(0,0,0)、A(0,n,n)、B(n,0,n)、C(2n,n,0)とすれば、
直線OA,OB,AC,BCの式は、
OA：x=0, y=z
OB：x=z, y=0
AC：x=2n-2z, y=n
BC：x=2n-z, y=n-z

四面体をz=kの平面で切ったときの断面は平行四辺形になり、頂点は、
(0,k),(k,0),(2n-k,n-k),(2n-2k,n)

その平行四辺形の辺または内部に存在する格子点の数をS(k)とすれば、
求める個数は、
Σ[k=0・・・n]S(k)
となります。

あとは、S(k)を求めて計算するだけ。

S(k)=(n+1)(2n-k+1)-k(k+1)-(n-k+1)(2n-2k)
ではないかな。

お礼

おお！ありがとうございます。

それでやってみます。