外サイクロイドの証明です

質問

半径aの円を固定、外周を半径bの円が転がって出来る曲線が外サイクロイドであることを証明。

証明の手順としてまず、
半径aの円C1:c1(t)=(acos(t),asin(t))
半径bの円C2:c2(t)=(bcos(t),bsin(t))

とおいたのですが、証明の条件で

c1(t0)=c2(t0)　かつ　c'1(t0)=c'2(t0)　(t0は任意の点)
また、
||c'1(t)||=1,||c'2||=1　(弧長によるパラメータ表示)

となることを確認しなければいけないのですが、
どのようにすればいいのか分かりませんでした。

証明自体は手順に添ってやれば、できるそうなので考えようと思いますが、
スタートでつまづいてしまったので、どうにもなりませんでした。

よろしければ、回答・ヒント等いただけるとありがたいです。
よろしくおねがいします。

回答No.1

noname#133363

何を証明しようというのかがよく分かりません。
というのも、冒頭の「～が転がって出来る曲線」は外サイクロイドの定義そのものだと思うからです。

まず目標を明確にすべきだろうと思います。
外サイクロイドのパラメータ表示を導き出したいとか、こんな性質を証明したいとか。

読んでの感想としては、c1(t)とc2(t)はいずれも原点を中心とする円のパラメータ表示だなあ、ということです。
もしC1を原点を中心とする円として、C2をC1の周りを転がる円として定義するつもりなら、C2の中心が原点ではなくしかもパラメータに依存することを、c2(t)の式に入れねばなりません。

補足

回答ありがとうございます。
質問が曖昧で申し訳ありませんでした。

最終的には、
半径aの円と半径bの円から外サイクロイドのパラメータ表示を導き出したいのです。

読んでみて、c2のパラメータ表示を見直さなくてはいけないようですね…
c2を今一度考え直してみます。