最小定理での回路計算

質問

図の問題で赤丸でかこった部分がわかりません。

p=e^2/(R+2r+r^2/R)から
説明文「分母はR*r^2/R=r^2(一定)となるので、最小定理よりR=r2/R,つまりR=rのとき最小となる」と記載され答えまでつづいていきます。

わからないのはp=e^2/(R+2r+r^2/R)の分母からなぜ　R*r^2/R=r^2(一定)　がでてくるのか？なにが一定なのか？です。

分母を最小にすると結果電力が最大になるのはわかりますが途中がなぜそうなるのかわからず悩んでいます。よろしくお願いします。

回答No.2

Executione · ベストアンサー

＞(１．分母が最小となるということを前提として分母からｘ・ｙを探すのが最小の定理を使う定石ですか？)

この問題の場合はそうです。
分母を最小とすることで、最大の電力を求めようとしているからです。
ただ、個人的には、微分を使って解くほうがわかりやすく思えます。微分を用いている書籍も多くありますね。

＞(２．項とは+ もしくは－でつながれた塊のことですか？)

そうです。

＞(３．R=r^2がどうしてR=rですか？R+r^2/Rの形をｘ＋ｙと見立ててR=rというのですか？)

いえ、R=r^2ではなくて、R=r^2/R　です。
両辺にRをかけて、R^2＝r^2　より、R＝ｒです。

＞(４．最小値に貢献しなくても2rを数式から省いたら感覚的におかしくなるように思えるのですが。)

2rを省略するのは、最小定理で、R=rを求めるときだけで、電力Pを求めるときは、もちろん省きません。

お礼

わかりました。有難うございます。

回答No.1

Executione

この式と、p=e^2/(R+2r+r^2/R)
回路図をもう一度、見てください。

右辺の中で、変数になっているのは、可変抵抗Rだけで、Eやｒは定数です。（つまり一定の値です。）

最小値の定理は、2つの正数ｘ、ｙにおいて、ｘｙ＝一定なら、ｘ＋ｙの値は、ｘ＝ｙのとき最小になる、というものでしたね。

分母の中で、どれをｘ、どれをｙと置けば良いでしょうか？
分母のR、２ｒ、r^2/Rの3つの項を、ｘ、ｙｎあてはめて、ｘｙ＝一定になる組み合わせを探します。
すると、Rとr^2/Rの組み合わせならうまくいくことに気づきます。

ｘｙ＝R×(r^2/R)＝r^2
ｒは、一定でしたから、ｒ^2も一定です。

後はわかると思いますが、ｘ＝ｙのとき、ｘ＋ｙが最小となるので、分母のR+r^2/Rから、
R=r^2/R
ゆえにR=rとなります。

分母の２ｒは、どうなってしまったのだ？と思うかもしれませんが、２ｒは定数なので、最小値には貢献してません。
なので、この2つの項（R+r^2/R）で求めればいいのです。

この式を言葉で書いてみると、
P＝定数/（最小値＋定数）
という形です。

お礼

丁寧に有難うございます。
ただ年をとり頭がかたくなったせいかまだよくわかりません。

この式と、p=e^2/(R+2r+r^2/R)
回路図をもう一度、見てください。

右辺の中で、変数になっているのは、可変抵抗Rだけで、Eやｒは定数です。（つまり一定の値です。）

最小値の定理は、2つの正数ｘ、ｙにおいて、ｘｙ＝一定なら、ｘ＋ｙの値は、ｘ＝ｙのとき最小になる、というものでしたね。

分母の中で、どれをｘ、どれをｙと置けば良いでしょうか？

(１．分母が最小となるということを前提として分母からｘ・ｙを探すのが最小の定理を使う定石ですか？)

分母のR、２ｒ、r^2/Rの3つの項を、ｘ、ｙｎあてはめて、ｘｙ＝一定になる組み合わせを探します。
すると、Rとr^2/Rの組み合わせならうまくいくことに気づきます。

(２．項とは+ もしくは－でつながれた塊のことですか？)

ｘｙ＝R×(r^2/R)＝r^2
ｒは、一定でしたから、ｒ^2も一定です。

後はわかると思いますが、ｘ＝ｙのとき、ｘ＋ｙが最小となるので、分母のR+r^2/Rから、
R=r^2/R
ゆえにR=rとなります。

(３．R=r^2がどうしてR=rですか？R+r^2/Rの形をｘ＋ｙと見立ててR=rというのですか？)

分母の２ｒは、どうなってしまったのだ？と思うかもしれませんが、２ｒは定数なので、最小値には貢献してません。

(４．最小値に貢献しなくても2rを数式から省いたら感覚的におかしくなるように思えるのですが。)

なので、この2つの項（R+r^2/R）で求めればいいのです。

この式を言葉で書いてみると、
P＝定数/（最小値＋定数）
という形です。

すいません、少しずれて考えているのはわかるのですが、どのように考えるのかまだりかいできません。
何とかわかるようになりたいのですがよろしくお願いします。