確率の問題が分かりません

質問

「5問のうち平均3問解くことのできる学生が，4問出題された試験で2問以上解ける確率をもとめよ」という問題が分かりません．
まず問題を読み替えて
「20問中平均で12問解ける学生が20問中10問以上解ける確率」ということにしたのですが，やはり[5問のうい平均3問解くことができる]というのをどのように使えばいいのか分かりません．
また，今回の読み替えは意味が変わってしまう気がします．
解答には513/625とあるのですが，どのように解けばいいのですか？

回答No.4

puusannya · ベストアンサー

「5問のうち平均3問解くことができる」というのは、確率では
1問中３／５問解けると考えます。だから２0問中12問解けると考えるのは間違っていません。

次に、「4問出題された試験で2問以上解ける」は以上という言葉が使われていることに注意をして考えると、2問解けるか、3問解けるか、4問すべて解けるのかのどれかです。
1つずつ考えていきます。

4問中2問解けると考えるときは、１，２，３，４のどれが解けるかを考えなければなりません。
この4問中の解ける2問の選び方は、４Ｃ２＝6通りあります。
たとえば１，３が解けたと考えると，そのときの確率は、
1番が３／５，２番が２／５、３番が３／５、4番が２／５だったということになりますから、
このようなことの起こる確率は、３／５×２／５×３／５×２／５＝３６／６２５　です。
4問中どの2問が解けると考えても確率は同じですから、
結局4問中2問解ける確立は、6×（36／625）＝２１６／６２５　です。

同じように考えると、3問解けるのは
どれが解けるか、どれを間違えるかの選び方が　４Ｃ３＝４Ｃ１＝４　通りあって
それぞれは　（３／５）＾３×（２／５）＝５４／６２５　ですから
4問中3問解けるのは、4×５４／６２５＝２１６／６２５

さらに続いて4問すべて解けるのはどれが解けるかは考える必要がありませんので、
確率は　（３／５）＾４＝８１／６２５　です。

これら3つのうちのどれかが成り立っているのですから
２１６／６２５＋２１６／６２５＋８１／６２５＝５１３／６２５　となります。

で、「20問中10問以上解ける確率」というのは違っているのです。
元が「20問中平均で12問解ける」で、そのときだけ１０問しか解けなかったということですから、
平均的なことが起こらなかったということですね。
平均的なことが起こるか起こらないかは、また別の推計という分野の考え方になるのです。
正規分布という分野です。高校を卒業してから数学の統計学の分野を学習する機会があれば触れられますので、楽しみにして置いてください。

お礼

ありがとうございます．
全ての事象について詳しく解説していただき，理解できました．
問題の読み替えでは後半部分が不適なのですね．
機会があれば近いうちに統計学も見てみようと思います．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

niko63

上の回答に対する修正ですが
　３問正解の場合、１問目２問目３問目問目正解ではなく正しくは不正解がその問題にあると言う事です。３問正解の場合不正解の問題を決めてしまえば必然的に正解する問題が求まります。

お礼

ありがとうございます．
余事象に近い考えなのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

asciiz

前半と後半は、分けて考えなければいけません。
「5問のうち平均3問解くことができる」→正答率60% (3/5) ということなので、
この生徒が、4問のうち正解できる数ごとの確率を考えてみます。

4問中0問正解の確率 (1-3/5) x (1-3/5) x (1-3/5) x (1-3/5) x 1 ＝ 16/625 x 1 ＝ 16/625
4問中1問正解の確率 (3/5) x (1-3/5) x (1-3/5) x (1-3/5) x 4 ＝ 24/625 x 4 ＝ 96/625
　※4問中、どこの1箇所を間違えるかは4パターンあるため
4問中2問正解の確率 (3/5) x (3/5) x (1-3/5) x (1-3/5) x 6 ＝ 36/625 x 6 ＝ 216/625
　※4問中、どこの2箇所を間違えるかは6パターンあるため
4問中3問正解の確率 (3/5) x (3/5) x (3/5) x (1-3/5) x 4 ＝ 54/625 x 4 ＝ 216/625
　※4問中、どこの3箇所を間違えるかは4パターンあるため
4問中4問正解の確率 (3/5) x (3/5) x (3/5) x (3/5) x 1 ＝ 81/625 x 1 ＝ 81/625

※それぞれのパターンの数は、このぐらいなら数えられますが、要はnCrというやつです。
4C0 =1, 4C1=4, 4C2=6, 4C3=4, 4C4=1。

これで導き出せた確率を足せば、625/625、すなわち1になり、これで全パターンだということが確認できます。

さてここで、問題文の通り、『2問以上』というのは、「2問または3問または4問解けた」ときなので、
216/625 + 216/625 + 81/625 = 513/625
ということになります。

ちなみにここで、逆に「0問または1問しか解けなかったときの、残り」と考えられれば、
1 - (16/625 + 96/625) = 513/625
となって、同じ回答を導くことができ、少し計算量をサボる事が出来ます。

でも慣れないうちは、上記のように、すべてのパターンの確率を出して、足して1になるのを確認してから答えを出す方が確実かと思います。

お礼

ありがとうございます．
正答率が60%ということで0～4問正解の事象を考えればよかったのですね．
これからは全てのパターンの確率を足して1になる事を確認したいと思います．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

niko63

まずどういう計算が行われているかといえば
(3/5)×(3/5)×(3/5)×(3/5) ←全部正解
(2/5)×(3/5)×(3/5)×(3/5) ←３問正解
(2/5)×(2/5)×(3/5)×(3/5) ←２問正解
これを足せば答えが出そうですがそんなに単純じゃないです。
それは３問正解と２問正解の場合は何問目に正解するかと言うのは関係ないからです
３問正解の場合は１問目と２問目と３問目と４問目の４パターン
２問正解の場合は１・２問目、１，３問目…（書くのがメンドクサイははは）
２問目の場合は６パターンあります。
すなわち行われている計算は
{(3/5)×(3/5)×(3/5)×(3/5)} + 4 * {(2/5)×(3/5)×(3/5)×(3/5)} +
6 * {(2/5)×(2/5)×(3/5)×(3/5)}
という事になります
計算がメンドクサイんでしませんが多分答えになると思います。