電磁気学の平行平板コンデンサの問題についてなんですが。

質問

平行平板コンデンサの極板面積S=100〔c㎡〕厚さをd=1〔cm〕とし、この両極板間に比誘電率ε=2.5の誘電体が充填されている。この極板を垂直に引き離すのに要する力を
①極板間の電圧V=10000の場合

②電荷=2の場合

について求める問題を教えて下さい。回答よろしくお願いします。

回答No.2

yokkun831

すみません。(1)ですが、先に書いたとおり電源の仕事がありますから、それを考慮すべきだったと思います。

ΔU = We（電源の仕事） + W（外力の仕事）

ΔQ = C'V - CV = -εSV/d^2・Δd
∴　We = ΔQ・V = -εSV^2/d^2・Δd

∴　W = FΔd = ΔU - We = -1/2・εSV^2/d^2・Δd + εSV^2/d^2・Δd
　　　= 1/2・εSV^2/d^2・Δd
∴　F = 1/2・εSV^2/d^2

(1)(2)とも表現が異なるだけで同じになっちゃいました。これでいいのかな？

回答No.1

yokkun831

微小変位の仮想仕事を考えます。外力による仕事の分，コンデンサのエネルギーが変化すると考えればよいのです。

(1)
C = εS/d, C' = εS/(d+Δd)
FΔd = 1/2・C'V^2 - 1/2・CV^2 = 1/2・εS{1/(d+Δd) - 1/d}V^2
　　 ≒ 1/2・εSV^2/d・{(1-Δd/d)-1} = -1/2・εSV^2/d^2・Δd
∴　F = -1/2・εSV^2/d^2

電荷の一部が電源にもどり，電源が負の仕事をするためにコンデンサのエネルギーが下がります。

(2)

FΔd = 1/2・Q^2(1/C' - 1/C)
　　≒ 1/2・Q^2・d/(εS){(1+Δd/d)-1} = 1/2・Q^2・Δd/(εS)
∴　F = 1/2・Q^2/(εS)

なお，電荷Qと電場E=Q/(εS)を用いると F = 1/2・QE というよく知られた結果となります。

お礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございます！おかげで理解できました。