格子点の個数について

質問

ｙ=ax２乗　と　ｙ＝ax+b のグラフの内部に囲まれた格子点の数の求め方が分かりません。

同じパターンの問題が何度も出ていて…
どなたか例を上げて簡単に説明してもらえませんか？

回答No.2

drmuraberg

中学生さんですか！！

∫ｙ（ｘ）dx　は積分記号で、積分範囲α～βと言った時には
曲線y(x)とｘ軸の区間[α、β] で囲まれる部分の面積を表します。

S = ∫{(ax+b) – ax^2}dx　　　積分範囲はα～βは
区間[α、β]での直線 y = ax + b　の下の面積と、曲線 ax^2　（２乗）の
下の面積の差をあらわします。つまり囲まれた部分の面積を表しています。

αとβは　(ax+b) – ax^2 = 0　を　x^2 – x – b/a = 0 と書き換えて
二次方程式の根の公式より
x = (1∓ √(1-4b/a))
つまり、区間[α、β]　は
α = {1 + √(1-4b/a)}/2
β = {1 - √(1-4b/a)}/2
となります。

１）直線　y = ax + b の区間[α、β]での台形の面積S1＝∫(ax+b) dx　は
yα= a(1 + √C)/2 + b, yβ= a(1 - √C)/2 + b ただしC=1-4b/a
ｙの平均は　ｙ＝（yα＋ yβ）／２= (a+2b)/2
αとβの距離はα―β＝√C
台形の面積S1は　　S1＝(a+2b) √C /2

２） 曲線　y = ax^2 の区間[α、β]での面積S2＝∫ax^2 dx　
積分の公式を使う
y=a 　 の積分　y=ax 　　 区間[α、β]での面積　a(α-β)
y=ax の積分　y=ax^2/2 　区間[α、β]での面積　a(α^2-β^2)/2
y=ax^2 の積分　y=ax^3/3 　区間[α、β]での面積　a(α^3-β^3)/3

S2= a{((1+√C)/2)^3 - ((1-√C)/2)^3}/3
= {√C(a-b)}/3

囲まれた部分の面積S＝S1-S2は
S＝{√C(a+8b)}/6
= √(1-4b/a)* (a+8b)/6

検算はしていませんので、最後の式が正しいかはチェックしてください。
積分の公式の面積との関係を方眼紙上で確かめて見てください。
積分(と微分)は高校で習います。

方眼紙のメモリの隣り合う交点の間隔をγとすると
ｓ＝γ＾２　　となります。
したがって格子点の数Nは
N ≒ {√(1-4b/a)* (a+8b)/6} /γ^2
となります。

回答No.1

drmuraberg

方眼紙に　ｙ=ax＾２　と　ｙ＝ax+b　のグラフを書いた時に、この曲線と直線で
囲まれる面積の中に有る方眼紙のｘ軸とｙ軸の交点の数と考えれば良いと思います。

囲まれる面積をSとすると、a>0　の時

S = ∫{(ax+b) – ax^2}dx　　　積分範囲はα～β、

ここにα、βは (ax+b) – ax^2 = 0 の２つの解です。　

１つの格子点の占める面積をｓ（方眼紙の交点の間隔から計算できる）とすれば、
格子点の数Nは
N ≒　S/s
で与えられます。S>>sならば十分良い近似となります。

この考え方は３次元の場合にも適用できます。

補足

S = ∫{(ax+b) – ax^2}dx　
↑
ごめんなさい
中学３年の馬鹿でよく分かりません；；