接線の式と接平面

質問

接線の式と接平面

曲面z=x^2+y^2の点（3,4,25）における接平面と接線の式を求めよ。
どのようにして解けば良いでしょうか？
わかりません・・・

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#1～#5です。

A#5の補足の回答

>微小接平面ベクトル(dx,dy,dz)に垂直なベクトル(3,4,-1/2)を
>積分すると法線ベクトル(3,4,-1/2)に垂直な平面群が求まる
>という事は、ベクトルを積分すると平面になるという事なのでしょうか？
>また飛躍しすぎですか

意味も分からず間違った理屈の展開をしてもだめでしょう。

別にベクトルを積分をしているわけでありません。

スカラーの微分方程式を積分してるだけです。
xdx+ydy-(1/2)dz=0

あえて意味を持たせるとすれば
直交する２つのベクトル(dx,dy,dz)と法線ベクトル(x,y,-(1/2))の内積
(dx,dy,dz)・(x,y,-1/2)を積分すると法線ベクトルに垂直な曲面群の方程式が得られるということでしょう。
∫(xdx+ydy-(1/2)dz)=x^2/2+y^2/2-z/2+C=0
　∴x^2+y^2-z+2C=0…(◆)
曲面群の中で点(3,4,25)を通る曲面の方程式を求めるには（◆）に点(3,4,25)の座標を
代入して積分定数Cを求め確定してやればいいでしょう。

　3^2+4^2-25+2C=0 ∴C=0
(◆)にC=0を代入すれば次の曲面の方程式が得られます。
　x^2+y^2-z=0
書き換えると
　z=x^2+y^2

お礼

ご回答本当にありがとうございます。
おかげさまで、理解しました。

回答No.5

info22_

#1～#4です。
A#4の補足の回答

>z=x^2+y^2の点（3,4,25）における接平面は、
>両辺の全微分を取って、
>dz=2xdx+2ydy
>これは、曲面に沿ったの微小接平面ベクトルを表す。

違います。ベクトルは3つの座標成分を使って表し、微分方程式では表せません。

曲面上の任意点(x,y,x)における接平面ベクトル（接ベクトル）は(dx,dy,dz)です。
曲面上の任意点の座標(x,y,z)とその点（接点）における接ベクトル(dx,dy,dz)成分の
間に成り立つ微分方程式が「dz=2xdx+2ydy」です。…(☆)

>式を変形して、
>xdx+ydy-(1/2)dz=0
>これは、曲面に沿った微小接平面ベクトルと（x,y,z）の各軸
>のベクトルの内積を表す。内積＝0より2つのベクトルが直行を表す。

正しくないいです。(x,y,z)は、上の(☆)に書いた通りです。
「内積＝0」を表す式は、曲面上の任意点(x,y,z)における接ベクトル(dx,dy,dz)と
直交するベクトル(x,y,-1/2)が、接点(x,y,z)における法線ベクトル（方向ベクトル）
となっていることを示します。

>これに、曲面上の点（3,4,25）を与えると
>3dx+4dy-(1/2)dz=0
>これは、微小接平面ベクトル(dx,dy,dz)とベクトル(3,4,-1/2)
>が直交していることを表す。(3,4,-1/2)は法線ベクトルの1つを表す。
その通り。

>接平面を求めるために、3dx+4dy-(1/2)dz=0を積分する
>3x+4y-(1/2)z=c
>これは、法線ベクトル(3,4,-1/2)に垂直な平面群を表す。
>点（3,4,25）を通る条件を与えると、
>c=25/2が求まる。

>よって、z=x^2+y^2の点（3,4,25）における接平面は、
>3x+4y-(1/2)z-（25/2）=0
その通り。

>各項の全微分を取ったときとは、微分係数を求める事であり、
>微小接平面ベクトルを求める事という認識で良いでしょうか？

一寸、違います。曲面上の任意点(x,y,z)の座標とその点（つまり接点）における接ベクトル(dx,dy,dz)の成分の間に成り立つ微分方程式を導出することです。導出式は接ベクトルと直交する方向ベクトル（つまり法線の方向ベクトル）を求める式にもなります。

>y=ax+bの場合、微分係数を求める事は接線の傾きを求める事
>だと認識しています。この認識で正しいでしょうか？

一寸、跳躍しすぎです。全微分すると「dy=adx」つまり　「adx-dy=(a,-1)・(dx,dy)=0」
これは直線の方向ベクトル(dx,dy)（直線の傾きdy/dx=a）と直交する方向ベクトルが(a,-1)であることを意味します。直交直線（法線）の傾きにすれば「-1/a」になります。直線の直交条件
である直線の傾きの積　a*(-1/a)=-1　を満たしていますね。

>ご回答頂きました接平面の方程式は
>z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)で、f_x(a,b)とf_y(a,b)は偏微分係数。
>解くと、z-25=6(x-3)+8(y-4)となりz=6x+8y-25となりました。
>全微分して求めた方法と同じ答えです。

同じになるのは当然。そのための接平面公式です。

>問題に、接平面と接線の式を求めよと記載がありました。
>問題がおかしいのでしょうか？

接点における接線の式は接ベクトルと同じですから、接ベクトルは法線に直交する360°の任意方向をとりえますので、接線も接平面内で接点を通り任意方向をとりえますので、接線の数は無限に存在します。なので接平面上の任意点（接点と異なる点）と接点を結ぶ直線は全て接線になります。なので「接線の式」を求めよ」とするのは問題としては問題があり、「１つに確定する接平面」の式を求めよ」とする方が問題として適切なのです。

>この回答へのお礼

>曲線の場合は、接線の式で曲面の場合は接平面という認識でよいでしょうか？
その通りです。

補足

いつもご回答ありがとうございます。
理解できました。

微小接平面ベクトル(dx,dy,dz)に垂直なベクトル(3,4,-1/2)を
積分すると法線ベクトル(3,4,-1/2)に垂直な平面群が求まる
という事は、ベクトルを積分すると平面になるという事なのでしょうか？
また飛躍しすぎですか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

info22_

#1,#2,#3です。

#3の補足の質問について

>質問3について、
>3dx+4dy-(1/2)dz＝0は、
>曲面上の接点（3,4,25）における法線ベクトル（3,4,-1/2）と
>接平面ベクトル（dx,dy,dz）の内積＝0の式であるとありますが、

その通りです。

>法線ベクトル（3,4,-1/2）は接点（3,4,25）に垂直なベクトルという
>認識で良いでしょうか？

接点は点ですから点に垂直なベクトルという表現は理解不能です。
「接点（3,4,25）における接平面に垂直なベクトル」というのであれば、その通りです。

>接平面ベクトル（dx,dy,dz）は、接点に垂直なベクトルにより決まる
>平面の微小増分？のように解釈したのですが間違いですか？

また理解不能な表現→「接点に垂直なベクトル」…点に垂直なベクトル？
考え方がおかしいですね。曲面の方程式が元でそれから導かれて決まるのが法線で法線ベクトルは結果として決まるものです。法線ベクトルが先に存在するわけでなし。
曲面に沿った微小ベクトルの成分表示が(dx,dy,dz)でその成分の微小要素が曲面の各軸方向の増分になっているのです。この微小な接平面ベクトルは一般に接点を中心に360°の方向自由度があります。それらの全ての接平面ベクトルが作る平面に対して、垂直なベクトル（方向的には反対向きも含めると2通り存在する）が内積=0(またはベクトル積)から決まります。特に曲面上の接平面の接点を通る接平面に垂直なベクトルが法線と言うことになります。

>質問5について、
>3dx+4dy-(1/2)dz＝0を積分すると、
>3x+4y-(1/2)z=cとなる積分操作は理解出来ます。
>最初に、z=x^2+y^2における平面を求めるために

単なる「平面」ではなく「接平面」と書く。

>z=x^2+y^2を全微分してxとyの接線を求めました。

「接線」ではないです。各項の全微分を取ったときの「微分係数」です。

>式を変形して、xdx+ydy-（1/2）dz=0とした。

これは曲面上の任意方向微小接ベクトル(dx,dy,dz)とそれに垂直なベクトルの内積=0
の形の式に変形しているわけです。この垂直なベクトルは曲面上の接点を(x,y,z)としたときの法線ベクトルが(x,y,-1/2)ということを意味します。接点座標を(3,4,25)とすれば法線ベクトルの１つが(3,4,-1/2)ということになります（定数倍したものは全て法線ベクトルです）。

>z=x^2+y^2上の接点（3,4,25）を与えると、
>3xdx+4ydy-（1/2）dz=0
>これを積分すると、3x+4y-(1/2)z=cとなります。
>cが出てくるのはなぜでしょうか？

不定積分には積分定数が出ることを習って見えないですか？
積分の基礎がだめですね。不定積分を今一度復習しなおしてください。

>z=x^2+y^2上の接点に垂直なベクトルにより決まる
>平面の微小増分？を積分すれば、z=x^2+y^2の
>（3,4,25）における平面が決まるように思いました・・・

原因と結果を逆に考えてますね？曲面があって（原因）、その上の点における接ベクトルの成分（各軸方向の増分）が決まるのであって、曲面から導出される法線ベクトル（結果）から曲面の増分や接平面が決まるのではないです。原因、結果を正しく把握すること。

>回答にもありましたが、平面郡となるのはなぜでしょうか？

「平面群」です。
法線に垂直な平面は無数にあります。積分によってでてくる積分定数がそれを表しています。接点を通るという条件を付ければ平面群の中に1つの接平面が確定します（積分定数cが確定する）。

>平面の方程式は、
>3x+4y-(1/2)z-25=0となることは分かりました。

>接線の式は、
>3xdx+4ydy-（1/2）dz=0で良いのでしょうか？

「接線」ではなく「接平面」と書くべき。
この式は、先にも説明しましたが、曲面上の接点(3,4,25)で成り立っている微分形式の方程式です。
接平面の式ではなく、接ベクトルとそれに直交するベクトルの内積を表す式です。

>微分のところでやった記憶があるのですが・・・
本当に理解してますか？

>この回答へのお礼の所の回答

>曲面の接線の式はどのように求めるのでしょうか？

また、「接線」。ではなく「接平面」でしょう。

曲面をz=f(x,y)、接点を(a,b,f(a,b))とすれば
接平面の方程式は

z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)

と書けます。

導出法の詳細は参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://www.fbc.keio.ac.jp/~hkomiya/education/lecture/bisekibun-2-2007-3.pdf

お礼

曲線の場合は、接線の式で曲面の場合は接平面という認識でよいでしょうか？
補足の質問と合わせてご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足

ご回答本当にありがとうございます。
仰るとおり、接点に垂直なベクトルなんて・・・ですね。
すいませんでしたm(__)m

ご回答頂いた内容を整理させて下さい。
-----------------------------------------------
z=x^2+y^2の点（3,4,25）における接平面は、
両辺の全微分を取って、
dz=2xdx+2ydy
これは、曲面に沿ったの微小接平面ベクトルを表す。

式を変形して、
xdx+ydy-(1/2)dz=0
これは、曲面に沿った微小接平面ベクトルと（x,y,z）の各軸
のベクトルの内積を表す。内積＝0より2つのベクトルが直行を表す。

これに、曲面上の点（3,4,25）を与えると
3dx+4dy-(1/2)dz=0
これは、微小接平面ベクトル(dx,dy,dz)とベクトル(3,4,-1/2)
が直交していることを表す。(3,4,-1/2)は法線ベクトルの1つを表す。

接平面を求めるために、3dx+4dy-(1/2)dz=0を積分する
3x+4y-(1/2)z=c
これは、法線ベクトル(3,4,-1/2)に垂直な平面群を表す。
点（3,4,25）を通る条件を与えると、
c=25/2が求まる。

よって、z=x^2+y^2の点（3,4,25）における接平面は、
3x+4y-(1/2)z-（25/2）=0
-----------------------------------------------

各項の全微分を取ったときとは、微分係数を求める事であり、
微小接平面ベクトルを求める事という認識で良いでしょうか？
y=ax+bの場合、微分係数を求める事は接線の傾きを求める事
だと認識しています。この認識で正しいでしょうか？

ご回答頂きました接平面の方程式は
z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)で、f_x(a,b)とf_y(a,b)は偏微分係数。
解くと、z-25=6(x-3)+8(y-4)となりz=6x+8y-25となりました。
全微分して求めた方法と同じ答えです。

問題に、接平面と接線の式を求めよと記載がありました。
問題がおかしいのでしょうか？

以上、また長くなってしまいましたがご回答よろしくお願い致しますm(__)m

回答No.3

info22_

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

1
>接点の座標でx^2の項、y^2の項、zの項を対称に分割するとは
>どう言うことでしょうか？
接点座標(3,4,25)と接平面上の流通座標(x,y,x)について対称に分割するということです。
曲面上の接点付近では曲面と接平面は一致します。
曲面の方程式でx^2の項は x*xに対称に分けて片方のxに接点のx座標の3、もう一方のxに流通座標のxを代入します。その結果
>＞x^2→3x
となります。お分かり？

同様に曲面の方程式でy^2の項は y*yに対称に分けて片方の
yに接点のy座標の4、もう一方のyに流通座標のyを代入します。その結果
>＞y^2→4y
となります。お分かり？

次に曲面の方程式のzの項は 一次の項なので対称に分割するには(z+z)/2と分けます。片方のzに接点のz座標の25、もう一方のzに流通座標のzを代入します。その結果
>＞ｚ→(z+25)/2
となります。

>はどのような操作を行っているのでしょうか？
以上ですがお分かり？

別例）4(x-2)^2+9(y-1)^2 -z^2=2z+5
という曲面上の接点(3,2,2)における接平面の方程式は
2(3-2)*2(x-2)+3(2-1)*3(y-1)-2z=(2+z)+5
整理して
4(x-2)+9(y-1)-2z=z+7
∴4x+9y-3z=24

2
>これを、平面の方程式に当てはめると、3x+4y-(z+25)/2＝0
>となります。平面の方程式は3x+4y-(z+25)/2＝0でも3x+4y＝(z+25)/2
>どちらで表しても良いのでしょうか？

導出過程が分かるような平面の方程式の書き方に過ぎず、どちらでも構いません。
最終的な平面の式としては陽関数または陰関数の形式で簡潔な式に整理しておきます。

陽関数表現なら z=6x+8y-25
陰関数表現なら 6x+8y-z-25=0　(または 6x+8y-z=25)
となります。

3
>全微分はzの増分dzをdz=（∂z/∂x）dx+（∂z/∂y）dyで表されると認識しています。
そう考えてもいいでしょう。

>全微分を行う理由は、xの接線とyの接線を求めれば平面を求めることが出来るから
>だと認識しているのですが、間違いですか？
間違いでなないでしょう。

>＞両辺の全微分を取れば
>＞dz=2xdx+2ydy
>＞2xdx+2ydy-dz=0
>＞xdx+ydy-(1/2)dz=0　…（●）
>＞3dx+4dy-(1/2)dz=0　… (◆)
>＞[この式は法線ベクトル(3,4,-1/2)と接平面ベクトル(dx,dy,dz)が
>＞直交していることを表す式になっています。]
>なぜ、xdxとydyだけ3dxと4dyとしたのでしょうか？
(●)の式は曲面上の任意点において成り立つ関係です。
一方（◆）の式は曲面上の接点(3,4,25)において成り立っている関係です。
なので(x,y,z)に(3,4,25)を代入した式となっているわけです。
zはないのでz=25は代入しても式には現われないだけです。

>>xdx+ydy-(1/2)dz=0のままで、法線ベクトル(1,1,-1/2)と
>>接平面ベクトル(dx,dy,dz)ではいけないのでしょうか？
全く駄目です。
式の意味が理解できてないようですね。
この式は曲面上の任意点における法線ベクトル(x,y,-1/2)と(dx,dy,dz)の内積=0の式です。
任意点における法線ベクトルを勝手に(1,1,-1/2)とすれば曲面上の（1,1,k)点における法線になって問題に対して全く無関係な意味を持たない理解できない操作になってしまいます。

4
>＞積分して
>＞3x+4y-(1/2)z=c　…(☆)
>dzをzとするために積分したという認識で良いでしょうか？
いいですよ。

>0の積分でなぜ積分定数が出てくるのでしょうか？
左辺のx,y,zの積分定数をまとめて右辺に書いたと考えればいいでしょう。

もっとも、定数の微分はゼロ、そうならゼロの積分は定数とならないとつじつまが合わないですね。0（実はゼロに限りなく近い微小量）を無限に集めれば有限の定数になりうる。こんなのが、微積分や数学の極限の世界の考え方です。（0x∞は何になるとかいった議論など）

5
>接線の式はどこで求めるのでしょうか？

(☆)の式は法線ベクトルに垂直な平面群の方程式です。
接平面を表すには接点（3,4,25）を通る平面となるよう積分定数cを定めてやれば
（☆)が接平面の方程式となります。
（☆）に接点座標（3,4,25）を代入して　c=25/2が求まるのでこのcを（☆）の式に
代入すれば接平面の方程式が求まります。

お礼

テキストを見返して接線の式を復習しました。
y=f(x)について、(a,f(a))を通る接線の式は、
y-f(a)=f'(a)(x-a)とありました。
曲線なら上の式を使って求めることが出来ると思うのですが、曲面の接線の式はどのように求めるのでしょうか？
お手数かと存じますが、補足の質問と合わせてご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

補足

いつもご回答ありがとうございます。

質問1,2,4は理解できました。
ありがとうございます。

質問3,5について理解出来ない点が
ありましたので質問させて頂きます。

質問3について、
3dx+4dy-(1/2)dz＝0は、
曲面上の接点（3,4,25）における法線ベクトル（3,4,-1/2）と
接平面ベクトル（dx,dy,dz）の内積＝0の式であるとありますが、
法線ベクトル（3,4,-1/2）は接点（3,4,25）に垂直なベクトルという
認識で良いでしょうか？
接平面ベクトル（dx,dy,dz）は、接点に垂直なベクトルにより決まる
平面の微小増分？のように解釈したのですが間違いですか？

質問5について、
3dx+4dy-(1/2)dz＝0を積分すると、
3x+4y-(1/2)z=cとなる積分操作は理解出来ます。
最初に、z=x^2+y^2における平面を求めるために
z=x^2+y^2を全微分してxとyの接線を求めました。
式を変形して、xdx+ydy-（1/2）dz=0とした。
z=x^2+y^2上の接点（3,4,25）を与えると、
3xdx+4ydy-（1/2）dz=0
これを積分すると、3x+4y-(1/2)z=cとなります。
cが出てくるのはなぜでしょうか？
z=x^2+y^2上の接点に垂直なベクトルにより決まる
平面の微小増分？を積分すれば、z=x^2+y^2の
（3,4,25）における平面が決まるように思いました・・・
回答にもありましたが、平面郡となるのはなぜでしょうか？

平面の方程式は、
3x+4y-(1/2)z-25=0となることは分かりました。

接線の式は、
3xdx+4ydy-（1/2）dz=0で良いのでしょうか？
微分のところでやった記憶があるのですが・・・

以上、お手数をお掛けいたしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足の質問の回答

>>接平面のご回答は、
>>（z+25）/2＝3x+4y
>>6x-8y-z-25=0

ではないですよ。
>6x+8y-z-25=0
です。

>とありますが、これはz=x^2+y^2を偏微分しているのでしょうか？
>（z+25)/2＝3x+4yがどのように導かれるのか教えて頂けないでしょうか？

平面の方程式は ax+by+cz=d
といったx,y,zについて一次の方程式です。
この方程式は定数倍を除いて一意に定まりますから、どんな方法を用いても平面の方程式を簡単に見つけられればそれに越したことはありません。
接点において接平面と曲面の方程式が一致するように平面の式を定めてやればいいと言うことです。
接点の座標でx^2の項、y^2の項、zの項を対称に分割してやれば、接点座標を代入すると、曲面の方程式に同じ座標を代入した式と一致します。そのように曲面の方程式の各項を接点座標と流通座標（x,y,z）で対称に分割してやります。そうすると曲面の方程式から曲面上の点における接平面の式が得られるわけです。
2次の曲面「z=x^2+y^2」なら
曲面上の点(3,4,25)と対称に変数を分割して
x^2→3x
y^2→4y
ｚ→(z+25)/2
というように曲面の方程式中の各変数の項を置き換えてたれば、x,y,zの一次式つまり平面の方程式が得られまず。
この方法は3次元空間の2次の曲面に適用できます。

全微分（偏微分）を使えば同じ結果が得られます。
曲面の微分を取れば
z=x^2+y^2
両辺の全微分を取れば
dz=2xdx+2ydy
2xdx+2ydy-dz=0
xdx+ydy-(1/2)dz=0
3dx+4dy-(1/2)dz=0
[この式は法線ベクトル(3,4,-1/2)と接平面ベクトル(dx,dy,dz)が直交していることを
表す式になっています。]

積分して
3x+4y-(1/2)z=c　…(☆)

接点座標(3,4,25)を代入して
9+16-(25/2)=c
c=25/2
(☆)に代入して整理すれば
3x+4y=(z+25)/2

これが曲面上の点(3,4,25)における接平面の方程式になります。

他の次元空間における2次の曲面方程式についても同様に接平面の式が求められます。

フリーソフトの3D-GRAPESを使って曲面と接平面を描いて本当に接平面になっているか確認してみて下さい（添付図参照）。
他の2次の3次元空間曲面についても確認してみるといいでしょう。

「3D-GRAPES」は「GRAPES」の参考URLのダウンロードプログラムの１つとして用意されています。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

補足

いつもご回答ありがとうございます。
理解出来なかった点があったので再度質問させて頂きます。
複数合ったので、1,2・・・と番号をつけて質問させて
頂きます。

1
接点の座標でx^2の項、y^2の項、zの項を対称に分割するとは
どう言うことでしょうか？
＞x^2→3x
＞y^2→4y
＞ｚ→(z+25)/2
はどのような操作を行っているのでしょうか？

2
これを、平面の方程式に当てはめると、3x+4y-(z+25)/2＝0
となります。平面の方程式は3x+4y-(z+25)/2＝0でも3x+4y＝(z+25)/2
どちらで表しても良いのでしょうか？

以下、全微分で解いた回答への質問です。

3
全微分はzの増分dzをdz=（∂z/∂x）dx+（∂z/∂y）dyで表されると認識しています。
全微分を行う理由は、xの接線とyの接線を求めれば平面を求めることが出来るから
だと認識しているのですが、間違いですか？
＞両辺の全微分を取れば
＞dz=2xdx+2ydy
＞2xdx+2ydy-dz=0
＞xdx+ydy-(1/2)dz=0
＞3dx+4dy-(1/2)dz=0
＞[この式は法線ベクトル(3,4,-1/2)と接平面ベクトル(dx,dy,dz)が
＞直交していることを表す式になっています。]
なぜ、xdxとydyだけ3dxと4dyとしたのでしょうか？
xdx+ydy-(1/2)dz=0のままで、法線ベクトル(1,1,-1/2)と
接平面ベクトル(dx,dy,dz)ではいけないのでしょうか？

4
＞積分して
＞3x+4y-(1/2)z=c　…(☆)
dzをzとするために積分したという認識で良いでしょうか？
0の積分でなぜ積分定数が出てくるのでしょうか？

5
接線の式はどこで求めるのでしょうか？

以上、質問がかなり多いですがご回答よろしくお願い致します。
また、教えて頂いた3D-GRAPESをインストールしたのですが、
使い方が良く分からなかったのでマニュアルを読んでもうちょっとやってみます。

回答No.1

info22_

接平面は
(z+25)/2=3x+4y
∴6x+8y-z-25=0
接点を通る法線ベクトルは
(3+6s,4+8s,25-s)

接点を通る接線ベクトルを
(3+as,4+bs.25+cs)
と置くと、これは法線ベクトルと直交することから内積＝０より
6a+8b-c=0
∴c=6a+8b
接線ベクトルは
(3+as,4+bs.25+(6a+8b)s)
書き下すと
x=3+as …(1)
y=4+bs …(2)
z=25+(6a+8b)s …(3)
(1),(2)から
∴(x-3)/a=(y-4)/b=(z-25)/(6a+8b)
(a,bはab(3a+4b)≠0を満たす任意の実数定数)

補足

ご回答ありがとうございます。
平面は空間中の点と平面に垂直な法線ベクトルが決まれば一意に決まると
認識しています。

点P（x0,y0,z0）を通り、法線ベクトルがn=（a,b,c）の平面の方程式は、
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0と表される。
もし、（a,b,c）＝0ならば、平面をなさない。内積が0のため。

接平面のご回答は、
（z+25）/2＝3x+4y
6x-8y-z-25=0
とありますが、これはz=x^2+y^2を偏微分しているのでしょうか？
（z+25）/2＝3x+4yがどのように導かれるのか教えて頂けないでしょうか？

インターネットを使って調べたりしたのですがよく分かっていない状況です。
また、参考になるURLなど教えて頂けるとありがたいです。