接平面の方程式を求める問題ですが、解けません!!

質問

曲面 Z = ( χ^2 + y^2 )^(1/2) 上の χ=4 , y=3 に対応する点における接平面の方程式を求めよ。

という問題文なのですが、解くことができません。
わかる方、いらっしゃいましたらご回答お願いいたします(>人<)

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

まず、接平面の方程式をどのようにして求めるのかは教科書や参考書で復習してください。
ネット検索なら、「接平面＋法線ベクトル＋三次元空間」などで検索して見てください。

求め方の要点は次の通りです。
接点での法線ベクトルを求め、それに垂直で接点を通る平面の方程式を求める。

以下、解答例を示しておきますが、必ずしも以下の方法で求める必要はありません。、
出来るだけ、あなた自身のやり方で考え、まずやってみてください。

　z=(x^2+y^2)^(1/2) …(1)

x=4,y=3のとき　z=(4^2+3^2)^(1/2)=5 …(2)

(1)より

　z^2=x^2+y^2

全微分をして
　2zdz=2xdx+2ydy
　xdx+ydy-zdz=0

これはベクトルの内積で表せます。
　(x,y,-z)・(dx,dy,dz)=0

したがってx=4,y=3,z=5における(1)の法線ベクトル
　(x,y,-z)=(4,3,-5)

x=4,y=3,z=5における(1)の接平面の方程式は
　4(x-4)+3(y-3)-5(z-5)=0
　∴4x+3y-5z=0 …(3)　　← 求める接平面の方程式

曲面(1)と接平面(3)の曲面の図を添付します。

お礼

色々なサイト、教科書を読んでみたのですが、接平面の方程式問題がどうしてもうまく解けなくて頼ってしまいました

とてもわかりやすい解答ありがとうございます
これを見ながら、いろいろな理解を深めようと思います

回答No.3

hugen

Z = ( χ^2 + y^2 )^(1/2)
x=4　代入 -------- Z(4,y)=( 4^2 + y^2 )^(1/2)
微分する ------- Zy(4,3)=3/5
接線　z1=5+3/5*(y-3)
同様に、接線　z2=5+4/5*(x-3)
接平面は
z=5+(z2-5)+(z1-5)
z=5+4/5*(x-3)+3/5*(y-3)

お礼

途中式がとても見やすくてありがたかったです^^
この解答も参考にしながら解いていこうと思います

回答No.1

Tacosan

あなたは, 自分がなぜ「解くことができない」のかわかっていますか?