高校数学の基礎

質問

高校数学です！

｜Ａ｜＝｜Ｂ｜
⇔ Ａ＝±Ｂ

とはどういうことですか？

回答No.3

c_850871 · ベストアンサー

順番に考えていけばわかりやすいかと思います．

(a)A≧0のとき|A|=A
(b)A<0のとき|A|=-A

(c)B≧0のとき|B|=B
(d)B<0のとき|B|=-B

というのは良いですよね?

AとBの正負の組み合わせとしては以下の4通りだけになります．

(ア)A≧0，B≧0のとき
(a)(c)を使って

|A|=|B|⇔A=B…(1)

となります．

(イ)A≧0，B<0のとき
(a)(d)を使って

|A|=|B|⇔A=-B…(2)

となります．

(ウ)A<0，B≧0のとき
(b)(c)を使って

|A|=|B|⇔-A=B…(3)

となり，これは両辺に-1をかけることで(2)と同じ式になります．

(エ)A<0，B<0のとき
(b)(d)を使って

|A|=|B|⇔-A=-B…(4)

となり，これは両辺に-1をかけることで(1)と同じ式になります．

(ア)～(エ)の考察で(1)(2)式に集約され，まとめると

|A|=|B|⇔A=±B

という形になります．

お礼

皆さん丁寧なご回答ありがとうございます！
理解できました(^р^)

回答No.2

gohtraw

｜Ａ｜＝｜Ｂ｜⇔ Ａ＝±Ｂ
という表記の意味であれば、｜Ａ｜＝｜Ｂ｜ならばＡ＝±Ｂであり、その逆も成り立つということです。この場合互いに必要十分条件である、つまり同値といえます。

証明は
｜Ａ｜＝｜Ｂ｜　の両辺を二乗して
Ａ＾２＝Ｂ＾２
両辺の平方根をとって
Ａ＝±Ｂ
よって｜Ａ｜＝｜Ｂ｜⇒ Ａ＝±Ｂ

逆は
Ａ＝±Ｂ　の両辺を二乗して
Ａ＾２＝Ｂ＾２
平方根をとって
±Ａ＝±Ｂ
複号は同順ではないので符号の組み合わせは４通りあるがそれらをまとめると
Ａ＝±Ｂ
よってＡ＝±Ｂ⇒｜Ａ｜＝｜Ｂ｜

回答No.1

info22_

「Aの絶対値とBの絶対値が等しい」
と「A＝±B」は同値である。

と言うことを表す表現です。

つまり
「A＝±B」であれば「｜Ａ｜＝｜Ｂ｜」が成立し、
逆に「｜Ａ｜＝｜Ｂ｜」であれば「A＝±B」も成立する。
と言う関係が同値の内容です。
「⇔」は同値記号、|A|の２つの縦棒は間の式（数値、変数を含む）の絶対値を表す記号です。