計算式を教えて下さい

質問

数学の事を教えて下さい
９種類のカードがあるとします。
カードを1枚ずつ引いていきますが、
引いたカードは戻すこととします。
2枚目以降に既に引いたカードとの重複の確率を下記の様にした場合の
全てのカードを見るまでの回数の割合を導き出す計算式を教えて頂けますでしょうか。
2枚目5％
3枚目6％
4枚目8％
5枚目4％
6枚目7％
7枚目9％
8枚目30％
9枚目50％

以上です。
宜しくお願い致します。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

No.2 補足質問の平均値は、
1 + Σ[m=1→∞] m(95/100)(5/100)^(m-1) + Σ[n=1→∞] n(60/100)(40/100)^(n-1) 回。
A が m 回、B が n 回出た後に C が出る状況を平均すればよい。

当初の質問も同じようなことがしたかったのだとすれば、その回数の平均値は、
P =
　　1
　　+ Σ[k=1→∞] k(95/100)(5/100)^(k-1)
　　+ Σ[k=1→∞] k(94/100)(6/100)^(k-1)
　　+ Σ[k=1→∞] k(92/100)(8/100)^(k-1)
　　+ Σ[k=1→∞] k(96/100)(4/100)^(k-1)
　　+ Σ[k=1→∞] k(93/100)(7/100)^(k-1)
　　+ Σ[k=1→∞] k(91/100)(9/100)^(k-1)
　　+ Σ[k=1→∞] k(70/100)(30/100)^(k-1)
　　+ Σ[k=1→∞] k(50/100)(50/100)^(k-1)
回となる。

この式の値は、Σ[k=1→∞] k(1-q)q^(k-1) が計算できれば、求められる。
S[n] = Σ[k=1→n] k q^(k-1) と置いて、
　　S[n+1] - q S[n]
　　= Σ[k=1→n+1] k q^(k-1) - q Σ[k=1→n] k q^(k-1)
　　= Σ[k=0→n] (k+1) q^k - Σ[k=1→n] k q^k
　　= 1 + Σ[k=1→n] { (k+1) - k } q^k
　　= 1 + Σ[k=1→n] q^k
　　= 1 + { q/(1 - q^n) }。
この式で n→∞ の極限をとれば、(1-q) S[∞] = 1 + q。
よって、Σ[k=1→∞] k(1-q)q^(k-1) = (1-q) S[∞] = 1 + q。

この計算を使って、
P = 9 + 5/100 + 6/100 + 8/100 + 4/100 + 7/100 + 9/100 + 30/100 + 50/100。

お礼

ご回答ありがとうございます。

大変助かりました。

回答No.2

nag0720

9枚目まで重複する確率が指定されているということは、枚数と確率の間に何らかの規則があるということではないのでしょう。
となると、10枚目以降の重複する確率は全く不明です。

10枚目以降の重複する確率が分からないのに、全てのカードを見る回数の割合を求めよと言っても不可能です。

お礼

質問が下手ですみません。
再度質問内容をまとめて出直してきます。

補足

3枚のカードが全て出るまでの抽出回数の平均を出す計算式を教えてほしいです。
例)65名が下記の条件でカードを引いたとします。
(1)1枚目にAカードが出たとします。
(2)2枚目にはAかBのカードがでますが、Aが出る確率を5％とし、Bが出る確率を95％と設定できるものとします。
(3)Aが出てしまった場合は同じ確率で再抽選します。再度Aが出た場合も同様でBが出るまで行います。
(4)Bが出た場合次の抽出でAかBが出る可能性を40％とし、Cが出る可能性を60％とします。
(5)AかBがでてしまった場合はCが出るまで(4)と同条件で続けます。

65名がABCすべてのカードを見るまでの抽出回数の平均を出す計算式を教えて頂けますでしょうか。

回答No.1

alice_44

カードは、無作為に引くのではないのでしょうか？
どのようなカラクリにしたら、既に引いたカードと
重複する確率がその表のようになるのか、
ちょっと想像がつきません。
何が起こっているのか解らないので、
質問の期待値を求めることもできません。

何をどのように考えてその表ができたのか
少し説明してみると、質問に答えられる回答者が現れるかもしれませんね。
現状では、不可能としか。

お礼

質問が下手ですみません。
再度まとめてから出直してきます。。。