確立に詳しい方教えてください！

質問

4種類のカードがあります
一度引いたら、元に戻してシャッフルします。
（出現率は当然25%とします）

各カードを3回づつ引くためには、平均何回引けばよいですか？
最小の回数ではなく、すべての種類を3回以上引くことが条件です

これを数学的に計算するにはどういった式になりますか？
よろしくお願いします。

回答No.5

pancho · ベストアンサー

質問者からの補足やお礼が無いので、「どこまで困っていて」「どこまで理解している」のが解らず、余り手間を掛けてもムダかも知れないと思いながら、数値的な回答をしてみたくなりました。

基本的な方針は「MASA_H」さんの最初の回答で良く、具体的なP(n)の式も２番目の回答が参考になります。但し２番目の回答は、場合分けが合っているにも関わらず、その場合の数を間違えているため正しく有りませんね。
P(16)=[12*{15!/(7!*3!*3!*2!)}+24*{15!/(6!*4!*3*2!)+12*15!/(5!*5!*3!*2!)}+{12*15!/(5!*4!*4!*2!)}]/4^16

で、容易に解るとおり１２回目で揃うのが最小で、この確率は約2.20%で、大して意味が無いのですが、残りの確率であと一枚引けば（すなわち１３枚目で）全て揃うと仮定して場合の期待値は、約12.98回。
同じように１３回目で揃う確率は約4.96%で、同じ条件での期待値は13.91回。

同様に、
１4回目：確率7.25% 期待値14.76 ... ここまでの確率14.41%
１5回目：確率8.69% 期待値15.53 ... ここまでの確率23.10%

20回目：確率6.97% 期待値18.06 ... ここまでの確率65.14%
... ここでも「MASA_H」さんの計算に間違いがあったようで、既に６５％を超えました。
以下、
25回目：確率2.99% 期待値19.06 ... ここまでの確率87.13%
30回目：確率1.07% 期待値19.41 ... ここまでの確率95.63%
35回目：確率0.35% 期待値19.53 ... ここまでの確率98.49%
40回目：確率0.11% 期待値19.58 ... ここまでの確率99.41%
45回目：確率0.03% 期待値19.60 ... ここまでの確率99.69%
50回目：確率0.01% 期待値19.61 ... ここまでの確率99.77%
という感じですね。

「MASA_H」さんの回答の通り、この期待値は無限級数なので、いくら計算しても最終結果を得られず、もしかしたら発散していくということも考えられますが、ここまでの結果からすると２０回辺りが期待値の上限と考えても実用上は問題なさそうです。

実際の計算では１８回目に５０%を超え、２３回目で80%、２７回目で90%、３８回目で９９%を超えます。

以上。

回答No.4

MASA_H

>ANo.3
Σn*P(n)でlimitをとってやれば式の上では表現可能です。といってもさすがにP(10000)とかだとほぼ0に近いので適当な所で上限を区切っても大体の値は出ます。
あとANo.2には間違いが見つかりましたが、正解は面倒なので書きません。
20回引いてそれまでに条件を満たしている確率は大体40%のようなので実際に計算する際はもっと上に上限を置かないとダメなようです。

回答No.3

52ndstreet

あまり詳しくないので
自信はないのですが
これは問題自体成立しているのでしょうか？

あるカードを引くことは
確率であらわせますが、

「必ず引く」ことは無理なのでは？

確率的には天文学的に低いでしょうが、
１万回引いても３種類しか引かない確率は
存在するので、、、、

「すべての種類を3回以上引くことが条件」
というのと
確率という概念が私には良く分かりません。

ごめんなさい。
門外漢のどうでもいいカキコミだったかもしれません。

回答No.2

MASA_H

先のだけではあまりもアレなので16回引いたときに条件が満たされる確率P(16)は
P(16)=[6*{15!/(7!*3!*3!*2!)}+4*{15!/(6!*4!*3*2!)+15!/(5!*5!*3!*2!)}+{15!/(5!*4!*4!*2!)}]/4^16
です。ちなみに
x!=1*2*3*4*5*....*(x-1)*x
です。

回答No.1

MASA_H

ものすごく簡単に書くとn回で条件が達成される確立をP(n)とすると
Σn*P(n)
です。