慣性モーメントの求め方

質問

回転放物面（パラボラアンテナ）の慣性モーメントの求め方 がわかりません。

パラボラアンテナの高度・方位方向の慣性モーメントの求め方を教えてください。
口径 a[m], その他のパラメータは何が必要かわからないので適当に文字で当てはめていただければ助かります。

また、高度・方位で動く時、方位方向におけるパラボラアンテナの慣性モーメントの値は、高度の値に依存して変わるのでしょうか。

以上よろしくお願いいたします。

回答No.4

do_ra_ne_ko

慣性モーメントは２重積分でよい。
しかし、前回の説明では少々言葉足らずでした。

パラボラ面の三次元表示式は、
ｚ＝a ( x^2＋y^2 ) 、　　a は放物線の係数。
で与えましたが、言わばこれはパラボラの底面の表示です。

実際には、パラボラの上面表示が必要ですがこれが難問。
パラボラの厚さを　ｔ　としてこの面の空間表示は困難。
パラボラの平行移動、放物線の係数変更でも対応不可。
複雑すぎます。

そこで、慣性モーメントの計算には、
微小質量＝( 密度ρ )×( 微小体積　ｄｘｄｙｄｚ ) に代えて
単位面積当たりの質量σという考えを導入して、
微小質量＝( σ )×( ｄｘｄｙ )　としました。
パラボラの肉厚が薄ければ理論上適切な近似です。

そうすると、Ｉ　＝　σ×　a^2 ∫∫（x^2+y^2)^2 dx dy
σを後で与えるとして、当面σ＝１としておくと、
　　Ｉ　＝　a^2 ∫∫（x^2+y^2)^2 dx dy　・・・前回の式

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追加質問への回答ですが、
　　例えば直径１０ｍだとすると、
極々大ざっぱに言えば　面積Ａ＝１００ｍ＾２
単位面積当たりの風圧荷重を大ざっぱに　ｆ＝１５０ｋｇｆ/ｍ＾２
風圧荷重　Ｆ＝ＡＦ＝１５トン　・・・・横向き

上の数値は建築基準からの借用ですが、パラボラが軽いだけに転倒
モーメントの処理が厄介で地中深く埋め込んだコンクリート基礎の上に
据付けることになります。

強度上というか安全面からの制約が大きいので、大きなものには
手が出せないのではないかと思います。
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お礼

ご丁寧にどうもありがとうございます。
お陰さまで簡易モデルを計算することができました。
どうもありがとうございました。

回答No.3

htms42

「アンテナの方位を変えるために必要なトルクの値が欲しい」
ということであれば質量分布の１次のモーメントですみます。
てこの原理で考えているものです。
１次モーメントでは質量分布は重心で代表させることができます。

慣性モーメントは２次モーメントです。
既に書かれているように運動が問題になります。
補足に書かれている角加速度を問題にするような回転運動です。

釣り合いで求めた値以上の力があればいいのですから後はどれくらいの余裕を付けるかです。
滑らかに動くようにするにはというような問題は別のことだと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
少し方針が見えてきたような気がしました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

noname#208392

設計図がなければ計算できませんよ。
最終設計図である必要はありませんが、寸法と材料、構造が分かる構想図が必要です。
そこから、#1さんがかかれたように、慣性モーメントの定義に基づいて積分（3重積分！）するのです。

球とか球殻、円盤のようなものの慣性モーメントは、自分で積分しなくても、どの公式集にでも載っています。
放物面は私は見つけられませんでした。自分で計算するしかないでしょう。
解析的に解を求めなくても、構想図に基づいて数値積分すればいいでしょう？やったことありませんが。

トルクを求めるのに他の方法はありません。
トルク=慣性モーメント×角加速度 はニュートンの運動方程式（力=質量×加速度）にちょうど対応している式で、剛体の回転運動はこれで記述するしかないです。

5m-10mの天体観測用のパラボラアンテナということは、趣味で計算しているわけではありませんね。
悪いことは言いませんから、メーカーに聞いてみるのがいいです。自分が必要な仕様・要求事項をまとめて、メーカーに丸投げするのが現実的だと思います。付け焼刃で計算しても、どっかで間違えますよ。

お礼

遅くなり申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます。おっしゃる通りメーカーに丸投げが一番現実的かもしれません。
どうもありがとうございました。

回答No.1

do_ra_ne_ko

この方面は得意じゃないが・・・・・

先ず、何をされようとしているのか不明です。
別に知る必要はないが、何をすればよいのか分からない。
パラボラアンテナを高速で向きを変える必要性が不明で、
高速運動をしないのなら慣性モーメントを計算する必要がない。

しかし、パラボラの式を作ったこともなかったので興味があり
計算方法だけは書いておきます。申し訳ないがあまり自信はない。

さて、直角座標系、ｘ、ｙ、ｚ、軸を考えてパラボラアンテナの軸を ｚ 方向とする。
パラボラの式は、　－ｂ≦ ｘ ≦ｂ 、－ｂ≦ｙ ≦ｂ 、 ０ ≦ ｚ ≦ a b^2 、として
ｚ＝a ( x^2＋y^2 ) 、　　a は放物線の係数。
自分で作ったので自信はありませんが、多分これでよいでしょう。

ｘ軸回り （＝ｙ軸回り） の慣性モーメント　Ｉ　は自分の計算では、
　　Ｉ　＝　a^2 ∫∫（x^2+y^2)^2 dx dy

これは高度を変える場合、つまり　ｚ　軸を傾ける場合です。
疑問点は次のことです。

ｚ　軸を傾ける、つまり高度を変えるにはモーターがくっついている筈。
方位を変えるには垂直軸の周りに、傾いたｚ軸を有するモーター付きのパラボラを
回す必要があります。　

座標変換をすれば垂直軸周りの傾斜パラボラの慣性モーメントを求めることは
できますが、モーターの方はどうするつもりでしょう。

さらに、実際はパラボラの底の位置は原点にあるのではなく ｘ 軸から離れている訳だし、
重量の問題があります。　外力として働くモーメントが変わるはずです。

パラボラの重心位置を計算したことがありませんが、重心位置の集中質量で代用は
できませんか？　面倒な計算をする理由が不明です。

補足

早速のご回答ありがとうございます。

当方物理学は良く理解していないのですが、天体追尾に使用する口径5m～10mのパラボラアンテナを、高度・方位方向に動かすために必要なトルクをそれぞれの方向について求めたいと思っています。

そして、トルクは慣性モーメント×角加速度で求められるとありましたので、慣性モーメントを求める必要があると思いました。

天体追尾のため高速運動をする必要がないので、慣性モーメントからではなく別の方法でトルクを求めた方がよいのでしょうか。ただ、その求め方も良く分からないので、厚かましいようですがヒントを頂けると幸いです。