何故A^4=Aを満たしていると言えるのか？？

質問

行列A=(1 1)が等式A^4=Aを満たすように,aの値を求めよ。
wwwww(a -2)

行列Aについて,ハルミトン・ケーリーの定理から
A^2-{1+(-2)}A+{1・(-2)-1・a}E=O
すなわち,A^2=-A+(a+2)Eが成り立つ。
よって A^4={-A+(a+2)E}-2(a+2)A+(a+2)^2E
=(-2a-5)A+(a^2+5a+6)E
A^4=Aとすると -2(a+3)A+(a+2)(a+3)E=O
ゆえに (a+3){-2A+(a+2)E}=O・・・・・(1)
ここで,行列-2A+(a+2)Eの(1,2)の成分０ではないので,-2A+(a+2)Enot=O
したがって,(1)が成り立つための条件はa+3=0
ゆえに a=-3

教えてほしいところ
確かに、a=-3とでますが、これがA^4=Aを満たしているという確認は必要ないんですか？？

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

式変形をする時、何と何が「同値」なのか
を常に意識しながら行うといいでしょう。
例えばA=Bと言う式がC=Dという式に
変形できた時（つまりA=B => C=D）、その逆も
言えるのか（C=D => A=Bも正しいか）、あるいは
必ずしもそうは言えないのかを常に考えて
見ましょう。

本問の場合、Hamilton-Cayleyの定理から行列Aについて
aの値の如何に拘らず, A^2=-A+(a+2)Eが成立するのだから、
aの値の如何に拘らず, A^4 = (-2a-5)A+(a^2+5a+6)Eです
（あなたの計算を信じます）。

もう一度確認ですが、行列Aについては、A^4 = (-2a-5)A+(a^2+5a+6)E
はaの値の如何に拘らず成立しています（成立することは、
定理とあなたの計算が保証しています）

よって、
A^4 = A
<=> (-2a-5)A+(a^2+5a+6)E = A
<=> (a+3){-2A+(a+2)E}=O
<=> (a = -3) 又は (-2A + (a+2)E = 0)
<=> a = -3 ( 何故なら-2A + (a+2)E = 0 は成立しないから）
です。これは「同値条件」を変形したに過ぎません。
よって、結論としてA^4 = A <=> a=-3です。

式変形をする時、同値な式変形をしているのか、必ずしも
同値でないのかを確認しながら進めるといいでしょう。

回答No.1

Takuya0615

必要です。

a=-3を代入してA^4=Aが満たされなければ成り立つとは言えませんから・・・。