数Ｃの行列のハミルトンケーリー使う問題

質問

行列Ａ＝
（1 a )
──
(-2 a)

が等式Ａ^3＝７Ａ－６Ｅを満たしている。

このとき、実数aの値はいくらか。

結局の答えは、１、３、－１、－２、その他のどれかなのですが・・・
ハミルトンケーリーって次数さげていく方法で使うんでしょ？；；
Ａ^3=Ａ^2・ＡでＡ^2を代入して見て計算していったんですがうまくいかなくて。。
このやり方自体が間違ってるんでしょうか？

回答No.2

fukuda-h · ベストアンサー

やり方はあってまして、少し計算ミスがありますね。
それとハミルトンケーリーを使う場合の最後の手順をマスターしましょう。

>(a+1)^2A-3a(a+1)E=7A-6E

>について

>(a^2+2a-3aE-6)A=(3a^2+3a-6)E・・・・(1)

>ここで止まったままなのです。。

いいところまでいってますが(1)がまちがってますね。左辺の（　　）の中のＥはいりません。

したがって(a^2+2a-3a-6)A=(3a^2+3a-6)E
(a^2-a-6)A=(3a^2+3a-6)Eとなります。

ここからの手順をよく覚えましょう。
まず、Ａの係数で割れるかどうかを調べます。このときＡは単位行列の時実数倍になるかならないかがポイントです。

ここでa^2-a-6≠0ならば
A={(3a^2+3a-6)/(a^2-a-6)}E=kE 単位行列の実数倍で表されるんですがＡはこの条件に適しません
よってa^2-a-6＝０かつ3a^2+3a-6＝０です
よってa=-2

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
ただもう少し質問したいことがあります。（補足）

補足

＞左辺の（　　）の中のＥはいりません。

・・・というのは、AとEをかけたから、Eを書かなくていいっていうことですか？？

回答No.3

fukuda-h

no.2ですが
＞AとEをかけたから、Eを書かなくていいっていうことですか？？
その通りです。
ＡＥ＝ＥＡ＝Ａ単位行列の性質ですね（数字の１みたいな性質ですね）
ここでは因数分解みたいに
aA+bA=(a+b)Aと単位行列を残しません。

a^2+2a-3aE-6はおかしな式です。a^2+2a-6は実数で3aEは行列で、計算できませんね。

補足

ありがとうございます。

計算したら、一応のところa=-2、3、2、-3がでてきますょね？
選択肢がしぼられてるから－2だけが答えになるんですょね；；？（不安なので確認；；）

回答No.1

koko_u_

>Ａ^3=Ａ^2・ＡでＡ^2を代入して見て計算していったんですがうまくいかなくて。。

もっと具体的にどう「うまくいかない」かを補足にどうぞ。

お礼

いい見直しになりました。
ありがとうございます。

補足

A^2-(1+a)A+(a+2a)E=0
A^2-(a+1)A+3aE-0

A^3={(a+1)A-3aE}A
=(a+1)A^2-3aEA
=(a+1){(a+1)A-3aE}-3aEA
=(a+1)^2A-3a(a+1)E
=7A-6E

(a+1)^2A-3a(a+1)E=7A-6E

について

(a^2+2a-3aE-6)A=(3a^2+3a-6)E

ここで止まったままなのです。。