0か零行列か2

質問

似たような質問ですいません。
Oは零行列とします。零行列でない行列Aがあり、A^3+A=Oを満たすとき、
ｐは二行二列の行列Aの、左上の成分と右下の成分の和です。
ケーリー・ハミルトンの公式より、Aの逆行列が存在しないとすると、
A^2＝ｐAなのでA=ｐとなり、A^3+A＝A(ｐ^2+1)=Oのとき、
A=Oであり、A=0ではないは正しいですか。

回答No.2

masudaya

A^2=pA から A=pE とできるのはAが逆行列が存在するときです.

なので，A^3+A=0のケーリーハミルトン(A^2=pA)を２回用いて

A^3+A=pA^2+A=p^2A+A=(p^1+1)A=0

となります.結果はおなじですがA=pEと言ってしまうと減点されますよ.
この後はほかの方も述べていますが，これが成立するのは，
p^2+1=0または，A=0となります.A≠0なので
p=±iとなります.
逆行列は存在せずに，対角成分の和(トレースといいます)が±iであれば
成立することになります.

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

iを虚数単位
i^2=-1
で
A=
(0,0)
(0,i)
とすると
i^3+i=0だから
A^3+A=O
p=i
|A|=O
Aの逆行列は存在しない
A^2=pA=iA
だけれども
A≠pI=iI
p^2+1=i^2+1=0
A^3+A=O=A(p^2+1)
だけれども
A≠O
だから

A=pは正しくない
A=pIも正しくない
A=Oも正しくない

Aが実数の行列の場合は
A=O=0だから
「A=0ではない」は正しくない

A=0
と書いた場合左辺が行列なのだから
右辺の数字の0は零行列を意味し
「A=0」と「A=O」は同じである
0と零行列は同じである。
もし
「A=0ではない」が正しいと仮定すると
「A=p」の左辺Aは行列で右辺pは行列でないから
「A=p」は正しくない
A=p
はIを単位行列とすると
A=pI
を意味する

お礼

お返事ありがとうございます。