「・・・のとき」という言葉の数理論理学的意味は？

質問

数学の証明や問題解答の記述に関して質問があります。
「pならばq」という記述は、数理論理学的に「p⇒q」を意味すると思います。

「・・・のとき」
「・・・の場合」
「・・・とすると」
「・・・であればよい」
「・・・でなければならない」
「・・・としてよい」
「・・・とおける」

などという記述は、数理論理学的に何を意味するのでしょうか。

日本語での証明は分かりやすい反面、言語のあいまい性があると思います。
証明を記号のみを用いて記述することを想定した場合、それらの日本語はどうなるかを知りたいです。

回答No.3

Kules · ベストアンサー

「・・・のとき」
「・・・の場合」
「・・・とすると」
「・・・であればよい」
「・・・でなければならない」
の使い分けとのことですが、
個人的な使い分けを書いてみます。
（これが正解というわけではありません。むしろ普通とずれたものもあるかも？）

・「…のとき」
例えば２変数（x,y）を解いていて、xに関する答えが２つある時。ｘ＝○○の時、y＝△△。ｘ＝□□の時、ｙ＝☆☆。
のように使います。ただ並べただけ、といった感じです。

・「…の場合」
例えば証明問題で、「２式を満たすｘの解が存在しないことを証明せよ」と言われた時、
第１式からｘ＝○○、△△となりうる。ｘ＝○○の場合、…よって第２式を満たさないので不適。
のように使います。後に「よって不適」が来ることがわかっている時（先が読めている時）使います。証明問題に限らず、簡単な問題の場合解かなくても「こんな感じになって不適だろうなあ」とわかっている時にも使います。ちょっと先が読めねーなー、という時には「…の時」を使います。

・「…であればよい」
例えば、「（ｘの２次式）＝０がｘ＝１～２の範囲に解をもたないためには、判別式＜０、または全ての解がｘ＜１、ｘ＞２の範囲にあればよい」のように使います。「言ってることは同じなんだけど、より扱いやすい式で表現しますよ」の時に使います。

・「…でなければならない」
必要条件を言う時に使います。さすがにこんなことは書かないですが、わかりやすい例で言うなら「（ｘの２次式）＝0がｘ＝１～２の範囲で解を持つためには、少なくとも判別式≧０でなければならない」のように使います。

・「…としてよい」
あまり使いません。上に書いた「わかりやすく言い換え」ではなく、文字を置きなおした時に「○○を△△とおくと、与式⇔～とおける。よって…としてよい」みたいな使い方をするかも。

・「…とおける」
自分で使うことはほとんどないような。空間図形の断面図を媒介変数で表す時に、
「○○のy座標をtと置くと、～よりx座標は（ｔの式）とおける」みたいな感じでしょうか。

参考になれば幸いです。

回答No.4

alice_44

＞ 使い分けのニュアンスがあれば教えていただけるとうれしいです。

明示的に定義される以外の意味を文章の行間から勝手に汲み取れば、
曖昧さが生じるのは当然。

＞数理論理学的に何を意味するのでしょうか。

という話題だったよね？

回答No.2

cyototu

＞日本語による表記は曖昧な場合も多々あるが、

はい、それもそうですが、どんな国の言葉の表記でも曖昧な場合が多々ります。だから、わざわざ記号論理学という特殊な記法があるのです。もし、そのような曖昧さがない言葉があったら、その国の言葉を皆が使えば良いのです。もしかしたら、アマゾンで二三年前に外部の人から始めて発見された人々の言葉がそうかも知れません。だったら、皆さんそこの言葉を習いましょう。

しかし、もしその言葉にもやはり曖昧さがあったとしたら、私には「日本語による表記は」という言葉に何の意味も見出せません。

それどころか、この曖昧さを芸術の域にまで高めることによって、人々は生きている喜びを感じているようです。

さて、練習問題です。

　はなのいろは うつりにけり ないたずらに　わがみよにふる ながめせしまに

これを記号論理学の記法で曖昧さなしに表現して下さい。

回答No.1

alice_44

「pのときq」＝「p⇒q」
「pの場合q」＝「p⇒q」
「pとするとq」＝「p⇒q」
「qであるためにはpであればよい」＝「p⇒q」
「qであるためにはpでなければならない」＝「(not p)⇒(not q)」
「pとしてよい」＝「p」
「p(x)とおける」＝「∃x,p(x)」

日本語による表記は曖昧な場合も多々あるが、
上記の用語についてはよく普及しており、読む側が無知でなければ、
誤解の余地は無い。

お礼

ありがとうございます。

「pのときq」＝「p⇒q」
「pの場合q」＝「p⇒q」
「pとするとq」＝「p⇒q」
「qであるためにはpであればよい」＝「p⇒q」

とのことですが、日本語の表記の使い分けのニュアンスがあれば教えていただけるとうれしいです。