絶対値が重なる場合はどうなりますか。

質問

題名のとおりなのですが、
｜a・p｜=｜a｜｜p｜
を証明する問題なのですが、（すべての文字に上にベクトルの矢印がつきます。）

a・pを｜a｜｜p｜cosθ（θはベクトルaとpのなす角）
と変形したいのですが、（解答もそうなっていました。）そのときにふと疑問に思ったのですが、
その場合、絶対値の中に絶対値が入ることになってしまいますが、この場合は、どうなるのでしょうか？

解答は
｜a・p｜=｜a｜｜p｜｜cosθ｜
と書いてありました。
絶対値の意味的に考えてもそれでいいのだろうなあとは思うのですが、反面？？となってしまいました。

もしどなたかご存知であれば教えていただきたいと思います。よろしくお願いします。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

ベクトルの場合
(a→)・(p→)＝|a→||p→|cosθ
を内積と定義される積で、この積はベクトルでなく普通の実数（スカラー量）です。実数ですから正負零の値をとります。

一方
(a→)×(p→)はベクトル積として定義され
大きさが
|a→||p→|sinθ
で方向が(a→)と(p→)の両方に直角
のベクトルとなります。

質問の「a・p」（正確には「(a→)・(p→)」）は内積で
す。
したがって
a・p=｜a｜｜p｜cosθ
自体は正負ゼロの値をとる実数です。
正負零の値をとる実数ですから
その絶対値を考えても不思議ではないですね。

｜a・p｜=|(｜a｜｜p｜cosθ)|

|a|、|b|、cosθのいずれも実数ですから

=|(｜a｜)||(｜p｜)|｜cosθ｜
=|a||b||cosθ|

となるわけです。
つまり
A,B,Cが実数の場合
|A・B・C|=|A||B||C|
が成り立つということですね。
たまたま、
ベクトルの絶対値（負でない実数）|a→|=|a|と
実数|a|の絶対値|(|a|)|=|a|
が同じ文字だったため、混同されて勘違いされただけのことかと思います。

2重の絶対値というより、
内側の絶対値は「ベクトルの絶対値（大きさ）」であり、
外側の絶対値は「内側の実数の絶対値」
ということです。

お分かりでしょうか？

お礼

oyaoya65さま、早速の御回答ありがとうございました。
御回答を読ませていただいて納得です。勘違いも甚だしいですね。｜a→｜は絶対値ではなく大きさを示すものでした。それを参考に今自分でやってみたところ、難なく理解できました。大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.3

pyon1956

概ね#2さんの回答が尽くしているようなので補足だけ。
ベクトルの|a→|についている||は、絶対値の記号ではなく、ベクトルの大きさを表す記号です。
まあ。にたようなもの（でも別のもの）なので、まとめてノルムと言う概念でくくったりしますが、同じものというわけではありません。

お礼

pyon1956さま、御回答ありがとうございます。ご指摘のとおり、|a→|は絶対値ではなく大きさでした。ありがとうございました。

回答No.1

keydaimon

外側の絶対値と、内側の絶対値を分けて、「意味的」に考えるとうまくいくかもしれません。

外側の絶対値は、全体の計算結果が最終的に正にするためのもの、なので、最初の｜a｜と｜b｜は見るからに正なので、残りのcosθさえ正であれば、正×正×正となるので、全体も正になりますよね。

最後に補足すると、高校までの問題で、絶対値がかぶさることはまったくと言っていいほどないです。なので、これからも遭遇する可能性は非常に少ないはずｗ

お礼

早速の御回答ありがとうございました。さらに練習問題に励みたいと思います。