誘電正接の理論について

質問

複素誘電率を
ε＝ε1ーｊε2
とした場合、

誘電正接tanδは、
tanδ＝ε2/ε1
であらわされるとのことなのですが、
その証明とはどういったものなのでしょう？

教えていただけないでしょうか？

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

誘電正接とは誘電体に交流電界が加えられた時の損失の大きさの目安になるものです。
損失は抵抗成分から生まれますので抵抗成分とリアクタンス成分を求めその比を摂ればよいのです。

問題を簡略化するためその誘電体でコンデンサを作りそのインピーダンスを考えます。
容量Cは誘電率に比例しますので
C=α・ε=α(ε1-jε2)
と表せます。

このコンデンサのインピーダンスZはω=f/(2π)を使って、

Z=1/(jωC)=1/(jω・α(ε1-jε2))
=1/(αω(ε2+jε1))
=(ε2-jε1)/(αω(ε1^2+ε2^2))
=β・ε2-jβε1 ←1/(αω(ε1^2+ε2^2))をβとした

となります。

最後の表式で実部(1項目)が抵抗成分を、虚部(2項目)がリアクタンス成分を表します。

このインピーダンスの損失正接=誘電体の誘電正接でありその値は、

tanδ=(β・ε2)/(βε1)=ε2/ε1

となります。

お礼

なるほど
そのように考えれば良いんですね！
ありがとうございます！

回答No.3

xpopo

今日は。静電正接は別名タンデルタ（tanδ）と呼ばれてます。

静電正接（タンデルタ）はその値が小さければ小さいほど、そのコンデンサ
の性能が良いと言われてます。

質問者のpeppeppe-さんが　タンデルタDは：　

　　tanδ　＝　ε2／ε1　

と表されると書かれてますが、これは誤りです。分子と分母が逆さまです。
正しくは、

　tanδ　＝　ε1／ε2　つまり、　tanδ　＝　抵抗成分／リアクタンス成分

と表すべきで、抵抗成分が多いほどタンデルタDの値は大きくなります。
もともとタンデルタDはコンデンサの損失を表すために定義されたものです
から損失が大きい、即ち、抵抗成分が大きい場合に大きな値になりように
定義されているのです。

お礼

問題や教科書を見ても間違っていなかったのですが・・・

回答No.2

e-eg6_001

No.1さんがおっしゃてるように、
tanδ＝ε2/ε1は誘電正接の定義です。

厳密性は置いておくこととして誘電正接をどうしてこう定義してるかと言えば、
電気の世界で言えば抵抗（レジスタンス）とキャパシタ（容量性リアクタンス）があります。
抵抗成分というのは、印加した電圧（交流を考える）に対して電流が流れ、
それがそのまま抵抗成分でエネルギー消費（熱になる）されます。
ところが、リアクタンス成分に交流電圧を印加すると見た目上電流は流れて、
抵抗成分のようにエネルギー消費されたように見えますが、
実際はエネルギー消費はされてはいません。
ところが、実際の誘電体を用いたキャパシタ（コンデンサ）でこれを考えると、
実際にほんのわずかに抵抗成分があり、そこでエネルギー消費（熱）になっています。
このときエネルギー消費に寄与している部分が抵抗成分であるε1の部分になります。
結局、エネルギー消費に寄与しないε2と、エネルギー消費をしてしまうε1の割合を知りたいのでtanδ＝ε2/ε1としているわけです。
かなり大雑把に説明したので厳密性を問う場合は複素インピーダンスについて
調べてみるのが良いかと思います。

回答No.1

tance

これは、証明というより、誘電正接の定義です。

お礼

これを証明しろという問題が出たのですが・・・