数学の問題です

質問

先生から課題が出されたんですけどとき方がわかりません
∫cos^3xで (π/４～０）の範囲の問題なんですけど∫cos^nx（π/2～0)の範囲の公式を使ってとくのですが答えが違うのが出てきてします
途中のやり方を教えてください

一様答えは５/６√２

回答No.7

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.5です。

＞途中まではわかったのですが
＞下に行くほどわかりにくかったです
＞よろしければもう少し簡単にできないでしょうか？

　理解しづらい要望ですね。もっと明確に書けませんか。
　途中までとは、どこまでですか？
　分かりにくいとは分かったけど難しかったということですか？　それとも分からなかったということですか？
　分からなかったのなら説明を詳しく書くことになりますが、簡単に書くと詳しく書けませんよ。
　分かったけど簡単にしてくれというのであれば、それは質問者さんがすべきことでしょう。
（ここでは理解が得られれば目的を達していると思われます。）
　どのようにも解釈できてしまいますので、明確な言葉で書いてください。

　以下、積分計算の途中式を記していきますので、分からなかったのでしたら参考にしてください。

　∫[x=0→π/2] {cos(x)}^3 dx
= ∫[y=-π/4→π/4] {cos(y+π/4)}^3 dy　　　　　←変数変換。y=x-π/4 dy=dx, x=π/2のときy=π/4, x=0のときy=-π/4
=∫[y=-π/4→π/4] {cos(y)cos(π/4)-sin(y)sin(π/4)}^3 dy　　←加法定理。cos(α+β)=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)
=∫[y=-π/4→π/4] {cos(y)/√2-sin(y)/√2}^3 dy　　（∵　sin(π/4)=cos(π/4)=1/√2　）
={1/(2√2)} ∫[y=-π/4→π/4] {cos(y)-sin(y)}^3 dy　　　←　(1/√2)^3 の括りだし。
={1/(2√2)} ∫[y=-π/4→π/4] {cos(y)^3-3cos(y)^2*sin(y)+3cos(y)sin(y)^2-sin(y)^3} dy　　←展開。(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3　
={1/(2√2)}×2× ∫[y=0→π/4] {cos(y)^3+3cos(y)sin(y)^2} dy　　（∵　cos(y)は偶関数。sin(y)は奇関数。）
　　　　　　　　　　　←偶関数（cos(y)^3,3cos(y)sin(y)^2）の積分はx=0に対して対称な積分区間を正の区間だけにすると2倍になる。
　　　　　　　　　　　　奇関数（cos(y)^2*sin(y),sin(y)^3）の積分はx=0に対して対称な積分区間を正の区間だけにすると０になる。
=(1/√2)∫[y=0→π/4] cos(y)^3 dy +(1/√2)∫[y=0→π/4] 3cos(y)sin(y)^2 dy　　←被積分関数をそれぞれの定積分に分割。
=(1/√2)∫[x=0→π/4] cos(x)^3 dx +(1/√2)[sin(y)^3][y=0→π/4]　　←第1項は積分変数の文字をxに変更。第2項は合成関数の定積分を実施。（第2項の被積分関数は　3{sin(y)}'{sin(y)}^2 の{sin(y)}^3の形になっている。）
=(1/√2)∫[x=0→π/4] cos(x)^3 dx +(1/√2)(1/√2)^3
=(1/√2)∫[x=0→π/4] cos(x)^3 dx +1/4

　ところで、∫[x=0→π/2] {cos(x)}^3 dx　は公式から　2/3 と求められているので、∫[x=0→π/4] cos(x)^3 dx　の値が次のように得られる。
　　2/3=(1/√2)∫[x=0→π/4] cos(x)^3 dx +1/4
　∴∫[x=0→π/4] cos(x)^3 dx = 5/(6√2)

回答No.8

alice_44

わかりにくいのは、迂遠な解答方針のために
計算が複雑になっているからだ。
この問題に ∫[0≦x≦π/2] (cos x)のn乗 dx を
公式として援用しようとしたことが、
あまりよい思いつきではなかった。
A No.3 または No.4 を見て、それでも尚
当初の方針をとりたいなら、多少の複雑さは
乗り越えなければならない。

回答No.6

info22_

#3です。

A#3の補足での積分範囲の変更[0,π/4]⇒[0,π/2]と変更すると
∫[0,π/2] cos^3x dx
　=∫[0,π/2] (1-sin^2x) cosx dx
=∫[0,π/2] (1-sin^2x) (sinx)' dx ←合成関数の積分公式を適用できる形に変形
=[sinx-(1/3)sin^3x](x=π/2)
　=1-(1/3)
=2/3
となります。

回答No.5

Mr_Holland

与えられた公式と　変数変換、偶関数・奇関数の定積分の性質　を使って求めます。

　先ず、与えられた公式から　次の値が得られます。
　　∫[x=0→π/2] {cos(x)}^3 dx=2/3　　・・・・・・(1)

　次に、式(1)の左辺の積分で　y=x-π/4 の変数変換を行います。
（積分区間を対称にするための処置です。こうすると、積分区間の正の部分が求めたい積分区間０～π/4に一致します。）

　　x=y+π/4, dx=dy, x=0のときy=-π/4, x=π/2のとき y=π/4

　∴∫[x=0→π/2] {cos(x)}^3 dx = ∫[y=-π/4→π/4] {cos(y+π/4)}^3 dx　　・・・・(2)

　ここで、式(2)の右辺の被積分関数を次のように展開していきます。

　　（式(2)の右辺の積分関数）
　={cos(y)/√2-sin(y)/√2}^3
　={cos(y)^3-3cos(y)^2*sin(y)+3cos(y)sin(y)^2-sin(y)^3}/(2√2)

　このように変形して、式(2)の右辺の積分区間を見ますと、-π/4～π/4 の対称な範囲になっていますので、偶関数・奇関数の定積分の性質から、式(2)の右辺は次のようになります。

　　（式(2)の右辺）= (1/√2) ∫[y=0→π/4] {cos(y)^3+3cos(y)sin(y)^2} dy

　ここで、この式の被積分関数のうち　3cos(y)sin(y)^2 の定積分は合成関数の積分ですので簡単に実行できて、次のようになります。

　　∫[y=0→π/4] 3cos(y)sin(y)^2 dy =[sin(y)^3][y=0→π/4] =1/(2√2)

　従って、式(2)の右辺は、求めたい定積分　∫[x=0→π/4] cos(x)^3 dx=I と置きますと、次のようになります。

　　（式(2)の右辺）=I/√2+1/4　　・・・・・(3)

　式（2）の右辺は、式（1）から　2/3 と求められていますので、式(3)に代入して、

　　I=∫[x=0→π/4] cos(x)^3 dx =5/(6√2)

と求められます。

お礼

回答ありがとうござました
やり方はこのやり方なのですが
途中まではわかったのですが
下に行くほどわかりにくかったです
よろしければもう少し簡単にできないでしょうか？

回答No.4

alice_44

cos の三倍角公式より、
(cos x)の3乗 =｛ cos(3x) + 3 cos x ｝/4.
両辺を 0 ≦ x ≦ π/4 の範囲で積分すれば、
与式 =｛ (1/3) sin(3π/4) + 3 sin(π/4) ｝/4
= 5/(6√2).

お礼

回答ありがとうございます
ですがそのやり方ではなく
∫0 ≦ x ≦ π/4から∫ 0 ≦ x ≦ π/2に
変えてやるやり方をできれば教えてください

回答No.3

info22_

∫[0,π/4] cos^3x dx
　=∫[0,π/4] (1-sin^2x) cosx dx
=∫[0,π/4] (1-sin^2x) (sinx)' dx ←合成関数の積分公式を適用できる形に変形
=[sinx-(1/3)sin^3x](x=π/4)
　=1/√2-(1/3)(1/√2)^3=(1/√2)-/(6√2)=5/(6√2)

お礼

回答ありがとうございます
ですがそのやり方ではなく
∫0 ≦ x ≦ π/4から∫ 0 ≦ x ≦ π/2に
変えてやるやり方をできれば教えてください

回答No.2

UROIUSH

こんにちは
回答の丸投げはNGですよ。

そんなに難しい積分じゃありません。参考書とか見ましたか？

回答No.1

OKXavier

>一様答えは５/６√２

答えが間違っています。
５/（６√２）のつもりで書いているのなら、正しく書きましょう。
正解は、5(√2)/12　です。

部分積分法で
∫[0,π/4](cosx)^3dx
=∫[0,π/4](sinx)'(cosx)^2dx
=[sinx(cosx)^2][0,π/4]+2∫(sinx)^2cosxdx

後は、t=sinx の置き換えをすれば求まります。