ベッセル関数の微分公式について。

質問

ベッセル関数の微分を行いたいのですが、どの式を使って良いかわかりません。

微分する場合は真ん中の漸化式を使うべきなのでしょうか？

それとも、一番下の式（単純に一番上の式から導いた関係）でしょうか？

一番下で計算するとどうも上手くいきません。

さらに、真ん中の式を使うこともできればしたくありません。

ν=0の場合は非常に簡単な公式があるのですが、それ以外の場合の公式がんくて困っています。

それとも、そもそも微分は一番上の積分公式みたいな簡単に公式化できないでしょうか？

どなたか教えて下さい。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

よく見ると(2)が微分を含まない式なので、補足します。
ベッセル関数の微分はzを変数として

Zν'(z) = d/dz [Zν(z)]
= (ν/z) Zν(z) - Zν+1(z)
= Zν-1(z) - (ν/z)Zν(z) (*)
= [ Zν-1(z) - Zν+1(z) ]/2

が成り立ちます。

ANo1の式はr^νが共通しているので消去すると

r Zν(ar) = [(ν+1)/a ]Zν+1(ar) + r Zν+1'(ar)

変形して

Zν+1'(ar) = Zν(ar) - [(ν+1)/ar ]Zν+1(ar)

これは上の(*)の式です(ν→ν＋１におきかえ)。

回答No.1

hitokotonusi

(3)番目の式が成り立つはずはないんですが。どこかに出ていましたか？

＞微分する場合は真ん中の漸化式を使うべきなのでしょうか？

「べき」というより使わざるをえないです。

(1)の積分公式をrで微分すると

r^(ν+1)Zν(ar) = d/dr[ { r^(ν+1)/a } Zν+1(ar) ] = [(ν+1)r^ν/a ]Zν+1(ar) + [r^(ν+1) ] Zν+1'(ar)

ですけど・・・・・