長方形を回転させた時の体積の違い

質問

たて６cm、よこ１０cmの長方形をたてを軸にして回転させた時と、よこを軸にして回転させた時では体積が違います。同じだと思っている中学生に、計算式で説明しても、計算はわかるけれどなんかスッキリしないといいます。スッキリしないことを計算でスッキリさせたのでいいはずなんですが、それが数学の本質なのでいいんですが、そのような生徒にはどのような説明をを付け加えればいいんでしょうか。実際に模型を作って測らせるなどという方法ではなく、計算式で等しくないと証明できたからいいんだということを納得させる方法を気がついた方は教えてください。

回答No.6

underhander · ベストアンサー

「計算式で等しくないと証明できたからいいんだ」では解決にならないと思います。式で求まる答えを感覚的にも納得できて初めて解決するものでしょう。それらが一致しなければ疑問を持つのが当然ですし、それが学問だと思います。本質を理解していないとすぐに忘れる知識でしかなく応用力も効かないと思います。

で感覚的な理解の仕方の例ですが。
例えば1cm×1cmの正方形を考えます。これを一辺を軸として回転させると底面の半径が1cmで高さが1cmの円柱ができます。次に軸を辺から1cm離すとドーナツのようになります。これを上から見てみましょう。1cmの長さの線が、前者では円を、後者ではドーナツ型を描きます。半径1cmと2cmの二重丸の内側と外側に相当しますね。途中まで回転させた扇形にするとより面積が違うのが分かりやすいと思います。内側より外側の方が広い面積になっていますね。これで軸から離れるほど広い面積になることが分かってもらえるといいのですが。これを再び三次元的に考えると広い面積は大きい体積に相当しますね。

長方形を考えると縦より横の方がそれぞれの部分(1cm×1cmの正方形)がより多く外側の方に位置していますよね。ですから縦を軸とした方が体積が大きくなります。

なんだか回りくどい説明になってしまいましたが、要は軸から離れている部分が多いほうが体積が大きくなるというのが重要です。

こんな感じでいかがでしょうか？これでその子がスッキリしてくれたら嬉しいです。

お礼

文字式による説明だけでなく、感覚的にも納得できるような説明を考えていたのですが、私にはドーナツのようにという説明を思いつきませんでした。発想の未熟さを痛感しました。詳しい説明ありがとうございました。
さっそく試みてみます。

回答No.8

fever

双方の体積は
縦軸で回転：
　１０×１０×π×６
横軸で回転：
　６×６×π×１０

両方に共通している１０×π×６を出すと
縦軸で回転：
　（１０×π×６）×１０
横軸で回転：
　（１０×π×６）×６

（１０×π×６）は同じもの：＋の値なので
それに１０と６を掛けたものはどちらが大きいか！

模型を使うのもいい案だと思うのですが、どうでしょうか？
１０cmと６cmだとちょっと大変だと思うので、縦を５cmにします。
半径１０cm・高さ５cmの円柱と、半径５cm・高さ１０cmの円柱を高さ５cmで２等分にしたものを用意します。
で、半径１０cm・高さ５cmの円柱は上の円が開くようにしておいて、その中に半径５cm・高さ５cmの円柱を２つ入れます。

お礼

feverさんがいわれるような上の円が開く工夫も試みてみます。みなさんさんのアドバイスでは、発想の豊かさに感服いたしました。ありがとうございました。

回答No.7

kiriburi

(1)同じ体積の円柱は、底面積が２倍になれば高さが1/2、底面積が３倍になれば高さが1/3、……を説明する。

(2)たてを軸にして回転させた時の底面積と、よこを軸にして回転させた時の底面積を計算させ、比の値を出させる。

(3)たてを軸にして回転させた時の高さと、よこを軸にして回転させた時の高さを計算させ、比の値を出させる。

(4)(2)(3)の比の値の積が1になっていないことを確認させる。

(1)を説明する時は、立体で納得し難いのであれば、長方形の面積　縦×横　縦を2倍，横を半分にした場合の辺りから説明すると納得しやすいかも……

お礼

他の方と同じように参考にさせていただきました。（１）の同じ体積の円柱は・・・という教え方には気づきませんでした。ありがとうございました。

回答No.5

fushigichan

ahisaさん、こんにちは。
これは、難問ですね・・

＞たて６cm、よこ１０cmの長方形をたてを軸にして回転させた時と、よこを軸にして回転させた時では体積が違います。

まず、回転させたときに、円柱になることを図で示して、

（円柱の体積）＝（底面積）×（円柱の高さ）

という公式があったので、これに当てはめるように言います。

たてを軸として回転させたときには、
高さ６センチ、
底面積は、半径１０センチの円になっていますから、
円周率を３．１４とでもおきますと

体積（縦）＝１０×１０×３．１４×６

となります。
一方、横を軸として回転させたときには、
高さ１０センチ
底面積は、半径６センチの円となるので、

体積（横）＝６×６×３．１４×１０

となるので、
体積（縦）のほうが、体積（横）よりも大きいことが分かります。

・・というような説明ではいけないでしょうか。
難しいですね・・

お礼

他の方が回答してくださった文字の説明と数を使っての説明の両方やって見ます。ありがとうございました。

回答No.4

mirage70

#2を使わせていただきます。
たてa よこbとすれば、
縦軸回転なら　πab^2
横軸回転なら　πa^2b と、なりますが、此処でπを除くと、
ab^2とa^2bとなります。此は、立方体の体積となりますので、立方体の図を書いて説明されればいかがですか。
a^2bは１辺がaの正方形に、高さがbの立方体となります。
このときに、b>aとしますと、この図のab面のaを延長して、bに伸ばすと、bbの正方形が出来まして、高さがaとなります。此により、ab^2の体積がでてきます。
この時に、ab^2とa^2bの体積はどうなるかを見ればよいのではないですか。此に、正のπを掛けたものはどうなるかを説明すればよいでしょう。また、逆の時も同様に、説明されればいかがですか。

お礼

やっぱり文字式を発展させた説明が一番ですかね。詳しい説明をありがとうございました。試してみます。

回答No.3

JetDeGo

体積で納得させる前に，表面積が半径の２乗に比例することを納得させる方が良いのではないでしょうか．
円柱でわかりにくければ，四角柱で説明するというのはどうですか．

補足

表面積が半径の２乗に比例することも納得できないレベルの生徒でして・・・説明が不十分で申し訳ありませんでした。

回答No.2

xdot

中学生でしたら、文字を使えばいいのではないでしょうか？
たてa よこbとすれば、
縦軸回転なら　πab^2
横軸回転なら　πa^2b
となり、式だけで明らかに違うことがわかると思います。

お礼

単純なことなので私たちにはわかるんですが、それが不思議でわからないというのです。文字でもう一度説明してみます。文字式で説明してみます。

回答No.1

ymmasayan

（表面積）×（高さ）で説明してもだめなんですかね。

お礼

早々の回答ありがとうございました。この中学生には理解できないんで困っているんです。