数学の和の問題です。

質問

数学の和の問題です。

Σ n*α＾n　（n＝１、２、…N　　　αは定数）

上の和を何か１つの式にまとめることができるでしょうか

例えばΣ α＾n＝α（１－α＾n∔1）/１－αみたいな感じです。

よろしくおねがいします

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

S=Σ[n=1→N] nα^n とおきます。
　このときSを展開しますと次のようになります。

　　S=α+2α^2+3α^3+4α^4+・・・+(N-1)α^(N-1)+Nα^N

　またαSを考えますとつぎのようになります。

　 αS= α^2+2α^3+3α^4+・・・+(N-2)α^(N-1)+(N-1)α^N+Nα^(N+1)

　このことから　α≠1のとき S-αS は次のようになります。

　(1-α)S=α+α^2+α^3+・・・+α^(N-1)+α^N-Nα^(N+1)
　　　　　=α(1-α^N)/(1-α)-Nα^(N+1)
　　　　　=α{1-(N+1)α^N+Nα^(N+1)}/(1-α)
　∴S=α{1-(N+1)α^N+Nα^(N+1)}/(1-α)^2　(α≠1のとき）

　また　α=1　のときは　S=Σ[n=1→N] n なので
　∴S=N(N+1)/2　（α=1 のとき）

お礼

差をとるとは思いつきませんでした。
ありがとうございました