ベクトル縦（A C）と縦(B D)で構成される平行四辺形の面積をABC

質問

ベクトル縦（A　C）と縦(B D)で構成される平行四辺形の面積をABCDを用いて表しなさい。余弦定理を使って求めたいのですがどのように求めたらいいのでしょうか？課題が分からなくて四苦八苦しています。教えていただけますか？

回答No.3

OKXavier · ベストアンサー

「余弦定理を用いて」ということですから、おそらく
余弦定理→cosθ→sinθ→面積の公式→面積を成分で
という流れなのでしょう。

x=(a.c), y=(b,d)　　ベクトルの矢線は省略します。適宜自分で
付けて下さい。xとyの内積を、<x,y>で表しておきます。

余弦定理より
cosθ={|x|^2-|y|^2-|x-y|^2}/2|x||y|
=<x,y>/|x||y|

これから

(sinθ)^2=1-<x,y>^2/|x|^2|y|^2
sinθ=√(|x|^2|y|^2-<x,y>^2)/|x||y|

面積S=(1/2)|x||y|sinθ
=(1/2)√(|x|^2|y|^2-<x,y>^2)
=(1/2)√((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2)
=(1/2)√((ad-bc)^2)
=(1/2)|ad-bc|

細かな計算はご自分でやって確認して下さい。

回答No.4

muturajcp

ベクトルa=(A,C),b=(B,D)とする
aとbのなす角をtとするとaとbの内積は
(a,b)=|a||b|cost
平行四辺形の面積をSとすると
S=|a||b||sint|
S^2+(a,b)^2=|a|^2|b|^2
S^2=|a|^2|b|^2-(a,b)^2
S^2=(A^2+C^2)(B^2+D^2)-(AB+CD)^2=(AD-BC)^2
S=|AD-BC|

回答No.2

boiseweb

第1象限（A,B,C,Dがすべて非負）の場合しか考えていないインチキを承知の上で，あえて．

添付写真の平行四辺形はA=3,C=1,B=1,D=2の場合です．これの面積を考えてみてください．
写真の図はホワイトボードに描かれています．周囲の赤・緑・青の部分はマグネットでできていて，剥がして別の位置に貼りなおすことができます．

余弦定理とか外積とか大ナタを振るうまでもなく，小学生でも解ける算数です．

で，写真の1,2,3の数字は付箋紙で貼り付けてあって，実は，剥がすと下にはA,B,C,Dと書いてあるんですねぇ…

回答No.1

noname#121794

外積じゃなくて余弦定理？
どう考えても100人中100人が余弦定理より外積の方がすぐ求められるし好むと思うけど。