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命題と対偶の問題を解説する
- 命題とは文や文章の意味を持つものであり、対偶とは命題を否定して逆に表現するものです。
- 命題と対偶の問題では、与えられた文章を対偶に言い換えることが求められます。
- 文章中に「も」や「や」が含まれる場合、逆から言う場合やそれぞれを分けて考える場合があります。
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まず，対偶の正しい定義を，覚えておくと良いでしょう． 命題「AならばBである」が与えられたとき， 「AでないならばBでない」 を「裏」 「BならばAである」 を「逆」 「BでないならばAでない」 を「対偶」といい， 与えられた命題が真であるとすると，対偶だけが真になります． これらの証明はド・モルガンの定理を使いますが， これから分かるように，この問題の基礎は集合論です． また，機械的にやることを私は否定しません． 一意的に決まるのが数学であり，恣意性は入りません． では，質問の件について回答します． 前の方が言っておられるように，接続詞は，「and」か「or」に置き換えて下さい． 「も」は「and」，「や」は「or」になります． 命題「音楽が好きな人は、社会も数学も得意である。」は，集合では次のようになります． （音楽が好き）→［（社会が得意）ｎ（数学が得意）］ ｎはキャップ記号 対偶は「→」の両側に「補集合」の記号を付けて矢印を逆にします． ですから，分けて考えるのは正しくありません．意味が違ってきます． ド・モルガンの定理から， ［（社会が得意）ｎ（数学が得意）］の補集合を変形して， 対偶は，次のようになります． （社会が得意でない）ｕ（数学が得意でない）→（音楽が好きでない） ｕはカップ記号 とならなければなりません． 言葉で言うと， 「社会や数学が得意でない人は，音楽が好きでない」となります． 機械的にやれば，難しい話ではありません． それにしても，まともな回答をせずにケチをつける神経ってどうかしてますね．
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- kamiyasiro
- ベストアンサー率54% (222/411)
#3です． > 機械的に覚えるならば、and は、or に変えると覚える事は正しいのでしょうか？ あまりにも短絡的です．もっと複雑な表現になったときに応用が効きません． 次のように考えて下さい． (1)「も」や「や」でつながれた「かたまり」を「論理積」「論理和」と言います． (2)まずはその「かたまり」の背反（補集合）を作って下さい． (3)その後，ドモルガンの定理を使ってｕ⇔ｎの記号変換を行って下さい． 命題「Ａ→Ｂ」であるとき「Ｂの背反→Ａの背反」が対偶です． ＡあるいはＢが「かたまり」であっても，「かたまり」のまま対偶を作って下さい． そうしないと，論理和の論理積など複雑な「かたまり」が示されたとき， ご提案の覚え方では対応できません．
お礼
有難う御座います。 やはり、そのドモルガンの定理という物の理解が必要になってくるのですね、 もう少し勉強します。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんにちわ。 "も"、"や"は、英語でいえば and、orで言い換えることができると思います。 そこから考えてもいいかもしれません。 ただ、機械的に覚えるだけでは、実際「対偶の証明」自体ができなくなってしまうような気もします。 （対偶自体は記せても、その証明ができないかも・・・）
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
機械的に覚えるつもりなら、わかりやすく教えてもらったとしてもそれを理解するつもりはない、ということですね。
お礼
koko_u_u 様 文章的に極端な表現にしてしまいましたが、決して理解するつもりは無いという事ではありません。 宜しければ教えて頂けないでしょうか？
お礼
kamiyasiro様 有難うございます。 音楽が好きな人は、社会も数学も得意である。の場合、 音楽が好きな人は、社会and数学も得意である。 と置き換える。 社会or数学が得意でない人は，音楽が好きでない。となる。 社会や数学が得意でない人は，音楽が好きでない。となる。 ”や”が付く文章の場合？は 英語が好きな人や美術が好きでない人は、国語が得意である。 この場合は、 英語が好きな人or美術が好きでない人は、国語が得意である。になり、 国語が得意でない人は、英語が好きでない人and美術が好きな人 で良いのでしょうか？ 機械的に覚えるならば、 and は、or に変えると覚える事は正しいのでしょうか？ 申し訳ありませんが、もう少し教えて頂きたいのですが。