対偶 さだまさし

質問

こんにちは！！ぼくは中学２年生です。
最近、さだまさしの「償い」というのが気に入っていろいろネット調べてましたところ、某大型掲示板で人が討論してました。
そこに「対偶」という言葉が使われていたのでいろいろ調べましたがさっぱりわかりません。得意な方、サルでも分かるようにお願いします。

ttp://book4.2ch.net/test/read.cgi/poem/1157036033/
ここの４～２１までにあるのですが。。。。

ぼくなりの解釈ですが、どうも論理的に正しいような事を言っているであろう15、19さんですが、間違っているような気がするのです。。。。

>ある命題が正しければ対偶も正しい。
と発言していますが、そもそもこれらの文面から命題というのが
定義できるのか。。。
対偶も正しい。と言っているのに矛盾しているような。。。

>例えば、A⇒B　（AならばB）と発言した時、他人が「じゃあB⇒Aだってのかい」
>と言えば、そのひとはナンセンスな事をいってるのです。

ここなんかは、対偶であるのに矛盾していることを言っているのではと。。。

馬鹿なので、お願いします。。。情けない。。。

回答No.7

einsiedler

こんばんは。たくさん考えられているようで何よりです。
最後になるかと思いますが、ご質問いただいた件に回答します。

>あの討論場では「命題」も曖昧の中でこのロジックで証明するには無理があったのではと思いました。

命題と対偶に関する説明として、まず命題（前提）ありきとして話をはじめました。「偉人」も「品性」もいわゆる「概念」ですから、とらえかたは人によって違うでしょうし、曖昧なものと言えるでしょう。命題（前提）が命題でなければその後の論理もうまく成り立ちません。おっしゃるとおりです。ただ「命題だとして（仮定して）」話を進めていたのであれば、その仮定に囲まれた世界では説明した論理が成り立つことになります。

>正解がない討論場において、このようなロジックで相手の発言に対して反論する、つまり、このようなロジックを用いること自体、タブーなのでしょうか？？

結論から言うとタブーではありません。とはいえ普段の会話でそんな論理的に「突っ込んだ」話をしないのと同様に、普通はそこまで論理的に物事を話しません。この場合は荒らしに対して荒らしにならないよう言い返す（理解してもらう）ために命題論理を使っているのではないでしょうか。本当に論理的な文章というのは隙がなく、反論するのが非常に難しいため「相手を説得・納得させる時に有効」なのです。

背景をちょっと解説してみましょう。
論理うんぬん以前に問題なのが、５の意見はあくまで「個人的な見解」であるということです。
そして、そんな個人的意見に対して、１４には気に食わなかったんでしょうね、目くじらをたてて誤解した論理を引っさげて「失礼な」言い方（ここがポイント）で乱入してきました。いわゆる荒らしととられかねない発言です。
そこで、１４の荒らしに対して何かしら言おうと思っていたところ、１４の論理的な間違いに気付いた１５は、同じような言い方で１４の失礼さを注意したのでは同類ととられますので、１４とは違って正しく論理的に、冷静に、話をしたのではないでしょうか。

以上が私見（個人的な考え）です。もちろん１５ではないので本当のところはわかりません。

ただ論理的な文章というのは、状況と言い方を考えないと、ともすれば揚げ足を取るな、とか、屁理屈を言うな、とか言われかねません。言っていることは正しくても、なんか嫌、ということは社会に出ても少なからずあります（人間だもの）。

私が中学生の時にこれだけ考えたことあったかなーと感心しています。これからもうまく考えて論理的な文章を使ってください。

お礼

おぉぉぉ！！！素晴らしき解説有難う御座います！！！
いろんな人の解説が聞けて非常に楽しい気分です！！！
多分、頭の中では８割くらいは「？？？」ですが。。。
でも、初めの目的である「対偶」が分かったので、僕の中では満点です。

ぼくは、あまり学校の勉強は好きではありません。。。
だけど、学校で１番頭の良い人が分からないような難しい事が分かったら、
きっとそれは「カッコいい！！」と、自分で思っているのです。。。

分からない事はすぐに調べて、自分の頭と照らし合わせたりします。
複雑になれば、なるほど燃えます！！！
不順な動機ですね（＞＜；

採点は皆さん、満点ですが、１人しか満点付けれないようで。。。
ぼくには選べないので「該当なし！！」とします。。。ごめんなさい。
また、壁にぶつかって答えが出ない時はお願いします！！！！

回答No.6

gako_2007

すばらしい。家の子供も貴方くらいよく考えるようになって欲しいと思います。
今日で1才6ヶ月になりました（＾＾）

まず、この前の回答で命題と逆が誤解されやすいと書きましたが、対遇と裏が誤解されやすいですね。訂正します。

さて、確かに、何々と何々の違いが判るというのは場合によりますが、本人の自己申告を有効と仮定すると万人にとって同じとなり、命題の要素としてぎりぎりありかなと思います。ただし、ある人に品格があるかどうかは万人にとって同じでないと考えられます。

たぶん、14番の方もそういう主張をしたかったのだと思われます。それなら、上記の様に直接いえばその通りと言うほかありません。ここで14番の方は二重の間違いを犯しました。

間違い１：命題となりえない物を命題として、論理を使った。
間違い２：論理の使い方を間違えた。

15番が最初に論理を使ったと考えていませんか? 最初に論理の世界にいったのは14番です。5番の主張に反証するため5番の主張を命題と置き、その"裏"が間違いである事で命題も間違いである事を主張しようとしたわけです。論理の用語を使っていないからといって論理を使っていないわけではありません。

そこで、15番は14番の（間違い１）について、”5番の主張は命題として、適当ではないのでその"裏"を取る事は無意味だ”という反論もできましたが、（仮に5番の主張が命題として適当であり、論理的に扱う事が出来たとしても）論理的に14番の命題を反証するためにその"裏"を反証するという論法（間違い2）を間違っていると指摘したわけです。

お礼

おはようございます！？さっき起きました！！
ぼくの家では「分からなければ、自分が納得するまでトコトン調べろ」が
家訓(？)なので、まず、親は教えてくれません(＞＜；
で、調べたことはＭＳエクセルで全部、纏めています。
これもコレクション(？)になりそうです(＾＾ｖ

この辺りまで来ますとちょっと、ぼくの脳では
ややこしくなってきまして。。。ごめんなさい。。。

なんとなく理解できるような、でも、書いてあることは分かるような気も。。。

でも、論理学を学んだ人同士じゃないと絶対に
スムーズに進まないという事は分かりました(＞＜；
掲示板にもありましたが、あのまま論理討論し続けていたら、
きっと「さだまさし」どころじゃなかったですね。。。。

今まで色んな掲示板を見てきましたが、こういった論理学的？というか
専門的に相手のミスを指摘した書き込みは見たことなかったので
ちょっと嵌ってしまいました。。。

gako_2007さん、einsiedlerさん、sak_sakさん
こんな馬鹿学生にお付き合い頂いて、有難う御座いました！！！
ここでまとめてお礼します。

回答No.5

gako_2007

1です。時間切れで解説なしでポストしてしまって申し訳ないことをしたと思っていました。でも親切な方がたくさんいて良かったですね。　中２でこれだけの文章がかけるのは大変素晴らしいと思います。対偶は確か高校の数学数Aー論理と集合で習うはずです。

さて、
>あの討論場では「命題」も曖昧の中でこのロジックで証明するには無理があったのではと思いました。

「命題」が曖昧とはどういうことでしょうか？命題自体が不明と考えたのでしょうか？それとも、命題の真か偽かが不明と考えたのでしょうか？　

話の流れから命題自体はきちんと把握できていらっしゃるようですので、命題の真か偽かが不明だと考えていらっしゃるのだと受け取れます、そうだとしてその先に話を進めます。

もしそうだとすると（命題自体の真偽）と（命題とその裏、逆、対偶の
関係が等しいか等しくないか）をごっちゃに認識されているような気がします。ある命題の真偽と　その命題の（裏、逆、対偶）の等価性には関係がありません。命題が真であろうと偽であろうと命題と対偶の真偽は等しくなります。もともと高校数学Aで習うのは、ある命題の真偽が判りにくいときにその対偶を真偽を証明する事により元の命題の真偽を証明するという使い方です。

>正解がない討論場において、このようなロジックで相手の発言に対して反論する、つまり、このようなロジックを用いること自体、タブーなのでしょうか？？

少なくとも今回の場合は正解はあります。14番が間違いです。それに論理の使用がタブーなわけがありません。ただし、対偶と逆の違いは誤解されやすく、対偶という言葉が出た時点でわかってくれない相手に判ってもらうには、今、正に皆さんが説明してくれたくらいの説明が必要です。そのうち相手の頭に血が上るなんてことも良くある光景です。まあ、それで貴方に直接の不利益がないのであれば無視するしかないですね。

お礼

有難うございます！！！続きも頂いて感謝しています（＞＜；
ＭＳワードで下書きして、誤字脱字の修正機能とWeb辞書と春休みの時間をフル活用しています。。。
何度も書き直したりしていますので、かなり時間が掛かっている訳です。。。

>もしそうだとすると（命題自体の真偽）と（命題とその裏、逆、対偶の
>関係が等しいか等しくないか）をごっちゃに認識されているような気がします。

ぼくの勘違いでした。。。
まず、「命題」とは何かとWikipediaで調べました。すると。。。
＝＝
命題（めいだい、Proposition）とは、意味に不明瞭なところがない文章の事。 論理学の用語である。
例えば「私の身長は160cm以上である」という文章は意味的に不明瞭なところがみあたらないので
命題であるといえるが、 「ワシントンは偉人である」という文章は、「偉人」という言葉の定義が
不明瞭なので命題とはいわない。
＝＝
と、あります。
それと＃３で書いてある、
＝＝
　中間的な状況を認めた場合には元の命題と対偶の真偽は一致しません。
＝＝
が変に混合してしまいまして、「命題」がハッキリしないこと、つまり「曖昧」であれば
このロジックは成立しない！！と納得してしまいました。
そもそも、中間的を不明瞭とか抽象的な事と勘違いしていました。。。

実例で言いますと、
「さだまさしの歌詞の違いが分かる人は品性がある」と言っていますが、
そもそも、さだまさしの歌詞の違いが分かるからと、品性があるとか限らないですよね？

それは単に掲示板５の人の個人的な意見であって、世間一般的に言われている事ではないし、
「曖昧」だと思いました。

つまり、
　(1)この「命題」は「曖昧(不明瞭)」な内容だから、「命題」とは言えない！！
　(2)中間的な状況を認めた場合には元の命題と対偶の真偽は一致しません。

(1)と(2)が混合した結果、14番の「逆」は間違いであると証明しているけれど、
しかし！！「命題」そのものが「曖昧(不明瞭)」なので、「命題」とは言わない！！
このロジックそのものが不成立だーー！！！と。。。

文章分かりにくくてごめんなさい。。。いいたい事が上手く書けなくて。。。
大人になるとこんな難しいことを考えながら、会話したりするのですか。。。ぼくの両親は普通です。。。

補足

>ある命題の真偽とその命題の（裏、逆、対偶）の等価性には関係がありません。

えっと、お礼文の続きです。。。長くてごめんなさい。。。
gako_2007さんの指摘された事が理解できました！！
有難うございました！！

最後の最後の質問です。。。
等価性に関係がないのは分かりましたが、「命題」が曖昧なものに対して、
このロジックを使うことが果たして適切であるかという事です。

１４の発言は間違っていると証明していますが、「命題」の真偽が
曖昧なものに対して証明しても、根源である「命題」の真偽が
不明瞭である以上、あまり証明しても意味がない気がしまして。。。

あ、、、ぼくまた、変なこと言ってますか。。。
本当にパニックで、というかずっと寝ずに考えています。。。
馬鹿でごめんなさい。。。

回答No.4

einsiedler

＃２です。
＃３の方がおっしゃっている通り、中間的な状況（グレーゾーン）を含めると議論は複雑になるので、ここではあえてそこは考えないで解説をしています（ただこのような状況であっても「AならばB」から「BでないならAでない」を結論づける事はできます）。

さて、
疑問：１４が「品性がないと違いがわからない」という事なのか。と発言していれば、それは５の発言の「違いが分かる⇒品性がある」の「対偶(？)」なので正しいという事なのでしょうか

という疑問に対してですが、これは「正しい」ということになります。

「（さだまさしのような繊細で奥深い歌詞の）違いがわかる人は（少なくとも）品性がある（命題）」の対偶である「品性が（全く）ない（ような人には）と（さだまさしの歌詞の）違いはわからない」ということになります。

ちょっと考え方を変えてみましょうか。

「違いがわかる人は品性がある」（命題）
から、一般的な考えを元に図式化して考えて欲しいのですが、
品性には色々あります。そこでさまざまな種類の「品性」という枠組み（円を描きましょう）の一部分として「違いがわかるために必要な能力」が含まれている（さっきの円の中に入る程度の円を描きましょう）という考えてみましょう。

そうすると、
「違いがわからない人に品性はない」（命題の裏）
そんなことはありません。違いがわからない人でも品性がある人はいるかもしれません（品性の円内で、違いがわかる人の円外の部分）。
「品性があれば違いがわかる」（命題の逆）
これも必ずしもそうではありません。品性がある人でも違いがわからない人は中にはいるかもしれません（品性の円内で、違いがわかる人の円外の部分）

そして
「品性がない人には違いはわからない」（命題の対偶）
これは正しいですね。違いがわかる、ということは品性がある、という「中に含まれる」わけですから（品性の円外＝違いがわかる人の円は含まれない）

おわかりになりましたでしょうか。妹さんに気持ち悪がられない程度にニヤニヤして頂ければ幸いです(笑)。

お礼

妹に「お母さん！！兄ちゃんが難しい事、勉強してる！！明日、台風だよ！！」
って言われました。。。

絵を描きながら理解すると非常に分かりました！！
素晴らしい満点回答、有難うございました！！！！
ここまでお付き合い頂いて、非常に恐縮なのですが最後にeinsiedlerさんの
見解をお願いできますでしょうか。。。

＃３さんにも質問したのですが、あの討論場では「命題」も曖昧の中で
このロジックで証明するには無理があったのではと思いました。

正解がない討論場において、このようなロジックで相手の発言に対して
反論する、つまり、このようなロジックを用いること自体、タブーなので
しょうか？？

長々と有難うございました。

回答No.3

sak_sak

No.2の方が紹介されたサイト(Wikipedia)にも書いてありますが、
中間的な状況を認めた場合には元の命題と対偶の真偽は一致しません。
つまり「品性が少しある」「違いがけっこうわかる」などの状況が
有りうると考えるならば、議論は複雑になるでしょう。

補足

つまり、命題も曖昧で正解のない討論場で「対偶」、「逆」などのロジックを
用いて証明しようとした１５、１９の人がナンセンスだったのですか？？

対偶の場合とは異なり、元の命題「AならばB」が正しくとも逆や裏は必ずしも正しいとは限らない（逆は必ずしも真ならず）。

ともありますが、１４の発言を「逆」で証明した１５の発言は論理学上で
命題が正しいと過程した時点での話であって、あの場では
証明には至っていないのでしょうか。。。

頭が。。。頭が。。。

回答No.2

einsiedler

15,19は論理的に正しいことを言っています。

15について
「ある命題が正しければ対偶も正しい。」というのは一般論です。
ここでは15が「違いがわかる⇒品性がある」を命題と定義しています。
そこで対偶である「品性がない⇒違いがわからない」は正しい、と述べています。

19について
おそらく質問者さんは「B⇒A」が「A⇒B」の対偶である、と思われているのではないでしょうか。
「B⇒A」は「A⇒B」の「逆」と言います。対偶ではありません。そして命題が正しいとしても「逆」は必ずしも正しいとは限らないので、「逆」も正しいと思い込んで発言した4がナンセンスだと述べています。
（ちなみに「A⇒B」の対偶は「Bではない⇒Aではない」です。）

対偶と同じような考え方で、「逆」や「裏」という考え方があるので参考にされてください。これでわかりますでしょうか。
以下Wikipedia「対偶」より抜粋；

命題「AならばB」に対し、

対偶：「BでないならAでない」
逆：「BならばA」
裏：「AでないならBでない」

対偶の場合とは異なり、元の命題「AならばB」が正しくとも逆や裏は必ずしも正しいとは限らない（逆は必ずしも真ならず）。 しかし、逆命題「BならばA」の対偶は「AならばB」の裏「AでないならBでない」と一致するので、 逆「BならばA」と裏「AでないならBでない」の真偽は必ず一致する。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%81%B6

補足

素晴らしい回答有難うございます！！
「おぉぉぉ、すげぇぇぇ！！」とお茶の間のパソコン前で
ニヤニヤとしていたら、妹が「一人でニヤニヤして気持ち悪い」と言われました。。。

１５，１９の解説は納得できました！！しかし、討論の内容が分かりません。１５と１９は同じ人です。（IDを見る限り）

(1)一番初めの発端は５の人の発言です。
「違いが分かる⇒品性がある」

(2)１４の反論で「違いがわからないと品性がない」という事なのか。より、
「違いが分からない⇒品性がない」

(3)１５が「違いがわかる⇒品性がある」を命題と定義。(これは５の発言からですよね)
　そこで対偶である「品性がない⇒違いがわからない」は正しい、と述べています。
　そのあとに違いがわからないと品性がないなんて言ってないよ。と言っています。
　「違いが分からない⇒品性がない」

(4)１９で１４に対してこれは「逆」なので間違っていると言っています。

疑問：１４が「品性がないと違いがわからない」という事なのか。と
発言していれば、それは５の発言の「違いが分かる⇒品性がある」の「対偶(？)」なので
正しいという事なのでしょうか？？（ちょっと混乱ぎみ。。。＞＜；）

何か、両方とも同じ意味合いのような気がするのですが。。。
「品性がないと違いがわからない」が正しいって変じゃないですか！？
お願いします。

論理学って難しいです。。。尊敬します。

回答No.1

gako_2007

15,19が正しい。