求積問題

質問

求積問題

ネットで見かけて簡単に解けるだろうと
やってみたらぜんぜんダメでした

で、再びネットで答えを探したんですが
見つかりません

悶々としてるので誰か教えてください

三角形ABCの面積

回答No.5

momordica · ベストアンサー

これ、算数の問題なんですか？
それなら…

図のようにBからACに引いた垂線(緑）で△ABCを二等分してくっつけ直すと、
頂角が30°の二等辺三角形ができます。
このとき、頂角を挟む２辺はABと同じ長さ、底辺はBDと同じ長さです。
こうしてできた二等辺三角形（緑）を12個合わせると、図のような
一辺の長さがBDに等しい正12角形ができます。

また、△ABCをBDで切り離し、ABとBCがあわさるように並べ替えると
図のような一番長い底辺がAD、それ以外の３辺がBDに等しい等脚台形に
なります。

先の正12角形から、この等脚台形（青）を4つ切り取ると、図のように
一辺が10cmの正方形（赤）になります。
この正方形は、△ABCの12倍から、△ABCの4倍に当たる部分を除いた
ものなので、その面積は△ABCの8倍の面積です。

したがって、△ABCの面積は一辺が10cmの正方形の1/8ということになるので、
　10×10÷8＝12.5　(cm^2)

もっといいやり方があるかもしれません。

お礼

うわー、まさにこれだと思います
ありがとうございました。すばらしい

これは算数ジュニアオリンピックというのがあるらしく
全国から勝ち抜いた小学生の決勝の問題の中の
一問だったと記憶しています

回答No.4

tokiwa-sanroku

学校の数学とは別の求め方ですので、混乱する様でしたら、無視して下さい。
　図面の上を0度として、ABの方向角75度とDBの方向角300度でB点を求め、
BCの方向角105度とDCの方向角90度でC点を求める。
　ABC点が求まりましたら、面積計算には他にも、座標差による座標面積計算、
辺長によるヘロン面積計算もあります。
参考までに。

回答No.3

spring135

⊿ＡＢＤに正弦定理を適用
∠ＡＤＢ＝30°、∠ＡＢＤ＝135°、∠ＡＢＣ＝150°
AB/sin30°=AD/sin 135°
ＡＤ＝10，sin 135°=cos45°=1/√2
より
AB=5√2

⊿ABCの面積ＳはAB=BC=a=5√2より

Ｓ＝AB・BC・sin∠ＡＢＣ/2=a^2・sin150°/2
=(5√2)^2・cos60°/2=25/2

回答No.2

nattocurry

別解を。

底辺をDBとし、DBの延長線と、AからDBへの垂線との交点をHとすると、△ADB＝△ADH－△ABH　となります。

△ADHは、∠A＝60°、∠D＝30°、∠H＝90°の直角三角形なので、AD＝10cmより、AH＝5cm、DH＝5√3cm　となります。
したがって、面積は、
△ADH＝5×5√3÷2＝25√3／2cm

△ABHは、∠A＝45°、∠B＝45°、∠H＝90°の二等辺直角三角形なので、AH＝5cmより、AB＝5√2cm、BH＝5cm　となります。したがって、面積は、
△ABH＝5×5÷2＝25／2cm

△ADB＝△ADH－△ABH＝25√3／2－25／2＝25(√3－1)／2cm^2

DC＝BD＝DH－BH＝5√3－5＝5(√3－1)cm

△ABD：△CBD＝10：5(√3－1)
△CBD×10＝△ABD×5(√3－1)
△CBD＝△ABD×(√3－1)／2

△ABC＝△ABD＋△CBD
　＝△ABD＋△ABD×(√3－1)／2
　＝△ABD×(1＋(√3－1)／2)
　＝△ABD×(√3＋1)／2
　＝25(√3－1)／2×(√3＋1)／2
　＝25×(3－1)／4
　＝25／2
　＝12.5cm^2

補足

すいません。説明不足でした
小学生の問題なので平方根やルートなどが使えません
せっかく解答していただいたのに申し訳ないです

回答No.1

nattocurry

解き方はいろいろあると思いますので、一例を。

∠DBC＝15°、∠DCB＝15°、⇒　∠BDC＝150°⇒　∠BDA＝30°

ここで、△ADBを考えましょう。

底辺をDBとし、DBの延長線と、AからDBへの垂線との交点をHとすると、△ADB＝△ADH－△ABH　となります。

△ADHは、∠A＝60°、∠D＝30°、∠H＝90°の直角三角形なので、AD＝10cmより、AH＝5cm、DH＝5√3cm　となります。

△ABHは、∠A＝45°、∠B＝45°、∠H＝90°の二等辺直角三角形なので、AH＝5cmより、AB＝5√2cm、BH＝5cm　となります。
DC＝BD＝DH－BH＝5√3－5＝5(√3－1)cm

BDの長さが解ったので、ADを底辺として、△ABDを見てみましょう。

BD＝5(√3－1)cmで、∠BDA＝30°なので、高さは、5(√3－1)／2cm　となります。

AC＝AD＋DC＝10＋5(√3－1)＝5(√3＋1)cm

よって、△ABCの面積は、
5(√3＋1)×5(√3－1)／2÷2＝25×2÷4＝12.5cm^2