積分を計算計算してください

質問

∫x|sin nx|dx
範囲は0→π
【nは正の数】

誰か解いて頂けませんか？

回答No.1

mmky

∫x|sin nx|dx
範囲は0→π
【nは正の数】

参考程度に
絶対値がつくとなにか論法が必要ですね。
例えば、
|(cos nx)'|=|-n*sin nx|=n*|sin nx|, n>0
だから
∫|sin nx|dx =(1/n)*∫|(cos nx)'|dx
=(1/n)*|cos nx|
同様に
|(sin nx)'|=|n*cos nx|=n*|cos nx|, n>0
∫|cos nx|dx =(1/n)*∫|(sin nx)'|dx
=(1/n)*|sin nx|
などという論法で部分積分を適用すると、
∫[0～π]x|sin nx|dx
=x*(1/n)|cos nx|-(1/n)∫|cos nx|dx
=x*(1/n)|cos nx|-(1/n＾2)|sin nx|[0～π]
=(π/n)
ということでしょうかね。