平方根に関する問題（高校受験レベル）なんですが。。。

質問

問題集でどうしても解けない問題が・・・（＞＿＜）

「ｎは正の整数で√３５ｎ／２（←全部ルートの中です）は２ケタの整数になるという。このようなｎをすべて求めなさい」

っていう問題なんですが、どうやったらかしこく求められるのでしょうか？
最初、ｎに順番に数字を入れていったんですが、骨の折れる作業で・・・(^^;

どなたか、お答えお願いいたします。。。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

ayappeさん、こんばんは。

＞「ｎは正の整数で√３５ｎ／２（←全部ルートの中です）は２ケタの整数になるという。このようなｎをすべて求めなさい」

難しいですね！
まず、√(35n/2)が２桁の整数で表される、ということですから、

１０≦√(35n/2)≦９９

ですね。
両辺２乗して、
１００≦(35n/2)≦９８０１・・・(1)
２００≦３５ｎ≦１９６０２
５．７１４・・≦ｎ≦５６０．０５・・　　・・・(2)

という範囲になります。
次に、
√の中が、なにかの２乗の形になっていないと、ルートは外れません。
35n/2
という数が、整数の２乗になるためには、
nは３５を因数に持たなければいけません。
さらに、２で割っていますから、２もまた因数に持つわけです。
というわけで、３５×２＝７０
を因数に持ちます⇔ｎは７０の倍数である。

nは７０の倍数ですから、
n=70a
とかけたとしましょう。
すると、
√(35n/2)=√(35*70a/2)=√(35*35*a)=35√a
となりますから、
aもまた、何かの２乗の形とならなければなりません。
そこで、a=b^2として、

n=70b^2とすると、
√(35n/2)=√(35*35*b*b)=35b
となります。
つまり、√の中は、35^2*b^2の形でないといけません。
√の中＝３５＾２＊ｂ＾２の形＝１２２５＊ｂ＾２の形

√の中の範囲は、(1)より、

１００≦１２２５ｂ＾２≦９８０１

b=1のとき、
√の中は１２２５
√１２２５＝３５で二桁の整数でOK
このとき、35n/2=1225より、n=70

b=2のとき、
√の中は、１２２５×４＝４９００
√４９００＝７０で二桁なのでOK。
このとき、35n/2=4900より、n=280

b≧3のときは、９８０１より大きくなってしまうので不適。

よって求めるnは、n=70,280となります。
これは(2)を満足しています。
頑張ってください。

お礼

ありがとうございます☆とっても分かりやすかったです！
つかえていたものが取れた気がします♪

回答No.5

stone_wash

高校の入試問題ですね。

√(35n/2)＝（二桁の整数）ですね。
順にやっていきましょう。

まず、√のなかを整数にします。すなわち√内の分母をなくすわけです。そのことより、
ｎ＝2α　（αは整数）
となります。

すると、√(35n/2)＝√(35α)になりました。
では、√(35α)が整数になるのはどんなときかなって考えます。簡単ですね、√がとれれば良いのです。
よって、
α＝5×7×β^2　（βは整数）
となります。

これより、
√(35n/2)＝√(35α)＝35√(β^2)＝35β
ですね。
ここまでくれば、β＝1とβ＝2はＯＫで、β＝3はアウトですね。数個なので代入して確認して見ましょう。

・β＝１の時⇒α＝5×7×1^2⇒n＝2×5×7×1＝70
　このとき、√(35n/2)＝35　　ＯＫ

・β＝２の時⇒α＝5×7×2^2⇒n＝2×5×7×4＝280
　このとき、√(35n/2)＝70　　ＯＫ

・β＝３の時⇒α＝5×7×3^2⇒n＝2×5×7×9＝630
　このとき、√(35n/2)＝105　ＤＱＮ

したがって、
n＝70、280となります。

お礼

とっても分かりやすい解説、ありがとうございます！
なるほど～（゜o゜）って感じでした☆

回答No.4

ririnnnohitori

答えは、２つでしょうか?

√の中を考えてみて、何より、大きくて、何より小さいかわかりますか?

√の計算の約束事である、√ａ＾２ｂ＾２ｃ＝ａｂ√ｃということはわかりますか?

これから、ｎは２(２分の一を消したいから)×３５の倍数であり、５６０より小さいということはわかりますか?

では頑張ってください

お礼

>√の計算の約束事である、√ａ＾２ｂ＾２ｃ＝ａｂ√ｃということはわかりますか?

分からないです・・・(^^;
ありがとうございました☆

回答No.2

yuusukekyouju

ポイントは2つです。
(1)ある数の平方根が整数となるためには、ある数は整数の2乗となる数でなくてはなりません。
つまり35ｎ/2がある整数の2乗でなくてはならないということです。
ｎは２の倍数でかつ５と７の倍数でなくてはなりません（３５が５×７と素数の積で表せるので）だからｎは70の倍数
(2)√３５ｎ／２が2ケタより３５ｎ／２は１００（１０の２乗）以上１００００（１００の２乗）未満です。
(1)(２)の条件よりｎ＝７０、１４０となります。

お礼

ありがとうございます☆
ｎ＝７０はＯＫだったんですが、ｎ＝１４０を代入したら整数にならなかったです・・・（＞＿＜）

回答No.1

zetafunction

(√40000)/2 = 200/2 = 100
(√400)/2 = 20/2 = 10

以上のことを考慮して考えてみましょう。

補足

すいません。問題にも書きましたが、数字は全部ルートの中なんです。。。