順列の問題

質問

四つの数字1,2,3,4を並べ替えてa1,a2,a3,a4とするとき、a1≠1、a2≠2、a3≠3、a4≠4
をみたす並べ方は(　)とおりである。

実際並べて、答えは９だと思うのですが、
並べないで考えるとどういう式をたてればよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

場合分けして数えて行くのが確実で
簡単な式で計算することは出来ないと思います。

並べ方は全部で４！＝２４

そのうち
４つとも同じ　１通り
３つだけ同じ　無し
２つだけ同じ　4Ｃ2＝６通り
１つだけ同じ　１個を固定すると異なるものが２通り出来るから
４＊２＝８通り
だから同じものが無い並べ方は　２４－（１＋６＋８）＝９　通り

お礼

どうもありがとうございます。

＞２つだけ同じ　4Ｃ2＝６通り
＞１つだけ同じ　１個を固定すると異なるものが２通り出来るから
４＊２＝８通り

というのが、ちょっとよくわからないのですが、もうちょっと詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.5

noname#24477

補足します。

ａ，ｂ，ｃ，ｄを並べ替えるとします。
２つ一致の場合　ａ，ｂを固定するとｃ，ｄの入れ替えしかありません。
４つのうち、どの２つを固定するか決めればいいので
（入れ替えるほうを決めても同じですが）４Ｃ２　

１つだけ一致の場合　
１つ固定してみます。ａが一致して残り３つの入れ替えは
ｃ，ｄ，ａあるいはｄ，ａ，ｃの２通りしかありません。
（これは実際に数えています。）
一致する一つを選ぶのが４通り、それに対して２通りずつ
あるわけだから　４＊２

それにしても＃４さんの紹介のように漸化式が作られているんですね。

こういう問題は群の話で、置換群などをやるとき出てきます。

お礼

補足どうもありがとうございます。
よくわかりました!!!!!!
確立系の問題は、頭が堅いと大変です(汗

どうもありがとうございました！~

回答No.4

graphaffine

stripeさん、こんにちは。
御質問の順列はすれ違い順列或いは完全順列などと
呼ばれているものです。
その個数をD(n)（ｎは順列の次数）とすると
次の漸化式が成り立ちます。
Ｄ（１）＝０
Ｄ（ｎ）＝ｎ＊Ｄ（ｎ－１）＋（－１）＾ｎ　（ｎ＞＝２）
従って、
D(2)=１、D(3)=２、D(4)=９、D(5)=44・・・
となります。
漸化式の証明は下記サイトをご覧ください。

参考URL：

http://plaza16.mbn.or.jp/~graph_puzzle/2no29.htm

お礼

そんな公式があるんですね。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.3

yuusukekyouju

まず順列の問題についてのアドバイスとして素直に考えてみてなかなか解答の指針がたたないといったときは余事象を考えてみることです。

では余事象を考えましょう。
４つ一致　１通り ですね。
３つ一致　3つ一致することはありえませんね。
２つ一致　一致しているものを4つのうちから2つ選ぶと考えて4Ｃ2＝６通り
１つだけ同じ　１つを固定するとちがうものが２個できるとかんがえます　４×２＝８通り

全体の事象は4！で24。

よって24-1-6-8＝9となります。

暑い中大変ですが頑張って下さい。

お礼

＞まず順列の問題についてのアドバイスとして素直に考えてみてなかなか解答の指針がたたないといったときは余事象を考えてみることです。

そうですよね！でもこの問題をみたときはそんなことよく思いつきませんでした(＾＾；

＞２つ一致　一致しているものを4つのうちから2つ選ぶと考えて4Ｃ2＝６通り
１つだけ同じ　１つを固定するとちがうものが２個できるとかんがえます　４×２＝８通り

ここのところがよくわからないのですが、もうちょっと詳しくおしえていただけないでしょうか？

回答No.2

eatern27

もっと簡単な求め方があるかもしれませんが、とりあえず、思い付いた方法で。

1,2,3,4の並べ方は4!=24通り

a1=1,a2=2,a3=3,a4=4・・・☆

(解法1)
☆の4つの式のうちk個だけ成り立つ場合の数をn(k)とおくと
n(1)=8,n(2)=6,n(3)=0,n(4)=1より
24-{n(1)+n(2)+n(3)+n(4)}=9

(解法2)
a1=1が成り立つ場合の数をm(1),同様にm(2)～m(4)
a1=1,a2が成り立つ場合の数をm(1,2)。同様にm(1,3)～m(3,4)と、m(1,2,3)～m(2,3,4)と、m(1,2,3,4)を定め、
M(1)=m(1)+・・・+m(4)＝24
M(2)=m(1,2)+・・・+m(3,4)＝12
M(3)=m(1,2,3)+・・・+m(2,3,4)＝4
M(4)=m(1,2,3,4)＝1
とおくと
n=24-M(1)+M(2)-M(3)+M(4)=9

お礼

ごかいとうありがとうございます。
解法(1)のほうなのですが、
＞n(1)=8,n(2)=6,n(3)=0,n(4)=1より
のｎが1、2の場合がよくわからないのですが、もうちょっとくわしくおしえていただけないのでしょうか？