２００９年防衛大学校の入試問題で数列の問題です。

質問

２００９年防衛大学校の入試問題で数列の問題です。

初項から第ｎ項までの和がSn＝－ｎ３乗+１４ｎ２乗ー４１ｎである数列｛ａｎ｝の中でａｎ＞０を満たす項の総和を求めよ。

夏休みの宿題で分からなくてとても困っています。教えてください。お願いします。

回答No.3

Kules · ベストアンサー

Kulesです。
ん～といっても私も実際に手を動かして計算して書いてるわけじゃないので、具体的な値はわからないんですが^^;anっていくらになりましたか？
気持ちとしてはanが2次の係数が負の数であるnの2次式か、1次の係数が負の数であるnの1次式になっててほしいところですね。
で、2次不等式an>0を解いてやります。といっても、解の公式をつかって√がらみの値を出す必要はありません。なぜならnは自然数しかとらないから。なんならn=1から順番に代入していき、anが正の値を取るものを探してもかまいません。おそらくそんなにたくさんはないと思います。
因数分解できるかはわかりませんが(できてほしいところですが)もし出来たらp<n<qみたいな感じでnの範囲が出ると思います。
仮にp=5、q=9ならn=6,7,8です。p=5/3、q=41/8ならn=2,3,4,5です。
n=6,7,8でan>0なら、その総和はa6+a7+a8です。わざわざ手の込んだ計算をする必要はないでしょう。

以上、参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。
ａｎから因数分解を利用し求める事が出来ました。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

S(n)- S(n-1)＝ a(n)も大事な式ですが、
もっと大事なことは「何を求めない（考えないと）といけないか」という「道筋」です。

・「ａｎ＞０を満たす項の総和を求めよ。」ということは、nがいくつになるかがわからないと和は求められませんよね。

・nさえ求まれば、もともと S(n)の式があるので答えとなる総和はすぐ求まります。
（でも、単純に初項からの和となるかはわかりませんね。）

・a(n)＞ 0となる nを求めたいために、a(n)がどうなるかを考えている（調べている）はずですよね？

特に入試問題になると、単に計算だけを追うのではなく、
考え方をしっかり持って問題に臨まないといけないですよ。＾＾

回答No.1

Kules

まず、Snとは「初項から第n項までの和」ですよね？実際書いてみるとこんな感じです。
Sn=a1+a2+a3+…+a(n-1)+an
では、n≧2の時のS(n-1)を考えてみます(なぜn≧2かと言えば、そうしないとS0というものが出てきてしあまうからです)
S(n-1)=a1+a2+a3+…+a(n-1)
となりますよね？
この２つの式をよ～く見てると…
an=Sn-S(n-1)であることがわかります。
ここからn≧2におけるanを求めることができます。で、a1に関してはS1に一致するはず（初項から第１項までの和=初項ですよね？）
まあanはnの２次式になるでしょうから、その中で正になるのはnがどんな範囲にある時かを求めて、
その和を出せばよいと思います。

参考になれば幸いです。

補足

ａｎまでは求めることができましたが、その後がよく分かりません。詳しく教えてもらえませんか？