n次の正方行列の逆行列の行列式を用いた求め方

質問

タイトルの内容からして間違っているかもしれませんが、求め方を教えてください。
たとえば

　　　|0 -2 0|
Ａ＝ |-1 3 1|=-10
　　 |4 2 1|

ですよね。この-10を用いて行列Ａの逆行列を求めるのには、この先どのようにすればいいのでしょうか？

回答No.1

mousengoke · ベストアンサー

ところで-10はAではなくてdet(A)ですね。

まずD_ij(余因子)を求める。
余因子はn×n行列の場合

　　　|a_11 a_12 … a_1(j-1) a_1(j+1) … a_1n|
　　　|a_21 a_22 … a_2(j-1) a_2(j+1) … a_2n|
　　　|　　　　　　　　　:　　　　　　　　　　　|
D_ij= |a_(i-1)1 a_(i-1)2 … 　　　　　　　　　|
　　　|a_(i+1)1 …　　　　　　　　　　　　　　　|
　　　|　　　　　　　:　　　　　　　　　　　　　|
　　　|a_n1 a_n2 … a_n(j-1) a_n(j+1) … a_nn|

上の式の場合
　　　| 3　1|
D_11= | 　　|=1
　　　| 2 1|

　　　|-1　1|
D_12=|　　　|=-5
　　　| 4　1|

　　　|-1　3|
D_13=|　　　|=-14
　　　| 4　2|

　　　|-2　0|
D_21=|　　　|=-2
　　　| 2　1|

　　　| 0　0|
D_22=|　　　|=0
　　　| 4　1|

　　　| 0　-2|
D_23=|　　　|=8
　　　| 4　2|

　　　|-2　0|
D_31=|　　　|=-2
　　　| 3　1|

　　　| 0　0|
D_32=|　　　|=0
　　　| 3　1|

　　　| 0　-2|
D_33=|　　　|=-2
　　　|-1　3|

すると
(D_11 D_12 D_13)
(D_21 D_22 D_23)
(D_31 D_32 D_33)

( 1　 5 -14)
=(-2　 0　 8)
(-2　 0 -2)

これをdet(A)で割る。

　　　( 1　 5 -14)
=-1/10(-2　 0　 8)
　　　(-2　 0 -2)

掃きだし法の方が簡単なような気がするのですが。

お礼

なるほど。よくわかりました。今日テストなんです。授業では掃きだし法はやらなかったもので・・・。教科書にはなかった分野で、インターネットで調べても表現や書き方が少々難解だったものでいまいちわかりませんでした。おかげで助かりました。