４項のド・モルガンの法則についての質問です。

質問

４項のド・モルガンの法則についての質問です。

Ｆ　＝　A ∧ (B ∨ (not)C ∧ D)
のとき

(not)F を求める問題なのですが

自分でやってみたところ
(not) A ∨ ((not)B ∧ C ∨ (not)D )
となり確かめるためにベン図を書こうとしたものの複雑でよくわからないものになり
答えがわかりません。

教科書には２項のものしか書いておらず確かめる方法がなく困っているので
回答お願いします。

回答No.8

info22_ · ベストアンサー

#4,#5です。

A#4,A#5のカルノー図の訂正
計算ミスでした。左下のFの値は指摘の通り「0」になります。

従ってカルノー図は以下のようになります。
（A#4,A#5のカルノー図と差し替えて下さい。）
_F_|____CD______
AB_|_00_01_11_10
00_|__0__0__0__0
01_|__0__0__0__0
11_|__1__1__1__1
10_|__0__1__0__0

A#4の最後の2行は削除し以下と差し替え下さい。
正：￢F=￢A∨(￢B∧(C∨￢D))
　これは演算子の優先順から「￢F=￢A∨￢B∧(C∨￢D)」でも構いません。　
誤：not(F)=(not) A ∨ ((not)B ∧ C ∨ (not)D ) = ￢A∨(￢B∧C∨￢D)

関連しての訂正
A#4の補足
>>カルノー図の一番左下のＡＢ＝10、ＣＤ＝00の項は０ですか？
A#5の補足
>一番左下を
>F=１∧（０∨１∧０）と考え括弧内を前から順に計算、のちに括弧外、括弧内で
>計算したところ答えが０になってしまいました。
指摘の通り計算「0」です。
ABCD＝１０００
F=A∧(B∨￢C∧D)
　=1∧(0∨￢0∧0)
=1∧(0∨1∧0)
=1∧(0∨0)
=1∧0
=0

>今まで選言、連言は括弧以外前から考えていったのですが
>連言は掛け算のように考え先に計算しなくてはいけないのでしょうか？

【演算優先順】（＞の左の方が優先順位が高い）
「括弧( )内」＞「否定￢」＞「連言∧」＞「選言∨」＞「（同じ論理記号が続く場合）前（左）の方から順に演算」

補足

＞計算ミスでした。左下のFの値は指摘の通り「0」になります。

細かな所ですが未熟な自分には大切な点だったので助かりました。
確認ありがとうございます。

＞正：￢F=￢A∨(￢B∧(C∨￢D))
＞　これは演算子の優先順から「￢F=￢A∨￢B∧(C∨￢D)」でも構いません。　
＞誤：not(F)=(not) A ∨ ((not)B ∧ C ∨ (not)D ) = ￢A∨(￢B∧C∨￢D)

見た目はほとんど変わらないのに計算結果が違うんですね。
教えてくださった優先順位の方法を使いたいところですが、万全を期して
括弧でくくる癖をつけていこうと思います。

＞演算優先順】（＞の左の方が優先順位が高い）
＞「括弧( )内」＞「否定￢」＞「連言∧」＞「選言∨」＞「（同じ論理記号が続く場合）＞前（左）の方から順に演算」

連言、選言の優先順位を同格だと勘違いしていましたので間違いに気付けてよかったです。
四則演算と同じだと考えれば簡単に覚えられそうですね。

丁寧なカルノー図、優先順位の回答ありがとうございました。

たった１つの問題に非常に多くの方に回答をいただき多くのことを
学ばせていたのですが、ベストアンサーは１人しか選べないと
いうことでinfo22_ににさせていただこうと思います。

皆様ありがとうございました。

回答No.7

noname#149523

No.1の質問を軽く流しちゃだめ。

(B∨￢C)∧DとB∨(￢C∧D)は同値ではないからカッコがない段階で問題に不備がある。

>教科書には２項のものしか書いておらず

∧,∨,→の論理結合子は2項演算子だということを確認してください。

補足

＞No.1の質問を軽く流しちゃだめ。
＞(B∨￢C)∧DとB∨(￢C∧D)は同値ではないからカッコがない段階で問題に不備がある。

No.1の質問の際にも確認させていただいたのですがやはり
括弧はありません。
欠陥問題だったんですね・・・
当方実力不足で重要なところとそうでないところの区別があまりついていないため
こういったご指摘は大変助かります。

＞∧,∨,→の論理結合子は2項演算子だということを確認してください。

２項演算子について調べたところちょうど∧、∨についても言及している
ページを見つけたのでさっそく読んでいきたいと思います。

重大なご指摘、勉強のポイントについての書きこみありがとうございました。

回答No.6

B-juggler

Ｎｏ．３です。

ド・モルガンだけ補足を入れておきますね。

ド・モルガン　の方法は、対偶を取っているのと同じことなので、

３項の場合は使えませんよ　＾＾；　論理命題で「逆」「裏」「対偶」ってあるでしょう？

あれあれ♪

三項の否定形とかになると、加法標準形か、乗法標準系かに直す　方法

または、そのまま真理値で￢を取る方法があります。（←　こっちが早いけどね♪）

極端な言い方したら、真理値とって否定にすれば、なんだっていいんだけどね＞＜

手法はいろいろありますね。　やはりＤは消えますね。

ｍ（＿　＿）ｍ

補足

ド・モルガンは何項あっても使えるものだとばかり思っていただけに
ショックながら非常に勉強になるお知らせです。

言われてみれば納得。
ただのルールだと思って特に考えていなかったんですが、対偶を
利用した考えだったんですね。

教えていただいた方法についても早速調べてみようと思います。
わざわざ補足までしていただいてありがとうございました。

回答No.5

info22_

>（スペースが潰れる場合は等幅フォントで見てください）
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

CD
AB 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 0 0

このサイトでは等幅フォントが使われておらず、スペースが左に詰められてしまいますので
カルノー図の部分をコピーして適当なテキストエディターに貼り付けてスペースが正しく表示される状態にして、見るようにしてください（プロポーショナルフォント表示は駄目）。

>>ただ書いてくださったカルノー図の一番左下のＡＢ＝10、ＣＤ＝00の項は０ですか？
「1」です。
左から「１　１　０　０」
１と並んでいます。

補足

たびたびの返信すいません。
現在教科書がないのでカルノー図について書いてある本が見つからないので
wikipediaを見ながらやっています。

一番左下を

１∧（０∨１∧０）と考え括弧内を前から順に計算、のちに括弧外、括弧内で
計算したところ答えが０になってしまいました。
何が間違っているのか理解できておりませんのでお手数ですが
理由と正しい考え方の例をお願いします。

またついでで申し訳ないのですが今気付いたことなのでお聞きしたいことがあります。

今まで選言、連言は括弧以外前から考えていったのですが
連言は掛け算のように考え先に計算しなくてはいけないのでしょうか？

回答No.4

info22_

ベン図は論理変数が3個まで、それ以上では使えないので、カルノー図を使うのが一般的です。
Fのカルノー図を描き、
カルノー図の0の部分をカルノーサークルで囲んで積項を作り論理和を取れば良いでしょう。
Ｆ　＝　A ∧ (B ∨ (not)C ∧ D)
カルノー図を描くと
（スペースが潰れる場合は等幅フォントで見てください）
CD
AB 00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 0 0

この図で0の箇所を出来るだけ大きなカルノーサークルで囲んで「(not)F=￢F」
の項を拾い出せば最簡形の加法標準形が求まります。

正：￢F=￢A∨(￢B∧C)
誤：not(F)=(not) A ∨ ((not)B ∧ C ∨ (not)D ) = ￢A∨(￢B∧C∨￢D)

補足

カルノー図は今まで調べたことがあっても見た目が難しそうなので
敬遠していましたが、教えてくださったとおりやってみると
簡単で正確に答えがだせるものなんですね。
次の問題にも利用できそうなので早速使わせてもらいます。

ただ書いてくださったカルノー図の一番左下のＡＢ＝10、ＣＤ＝00の項は０ですか？

不慣れで理解出来ているか分かりませんので申し訳ありませんが返答お願いします。

回答No.3

B-juggler

こんばんは。

これちょっと待って。

Ｆ　＝　A ∧ (B ∨ (not)C ∧ D)　だよね。

右辺　Ａ∧（・・・）　なので、

￢（←ｎｏｔね）Ｆ＝￢｛A ∧ (B ∨ (not)C ∧ D)｝

　＝￢Ａ∨￢（B ∨ (not)C ∧ D)

としないといけないんじゃないかな？

三項だから、ベン図で確認もできるし。　ｍ（＿　＿）ｍ

お礼

はい。
その右の￢（B ∨ (not)C ∧ D)の部分をド・モルガンでどう展開していけばいいのかが
分からなかったり、￢Ｆを出すためにはその３項と￢Ａを組み合わせたり・・・
等と考え苦しんでいました。（´・ω・）
回答ありがとうございました。

回答No.2

ymmasayan

ベン図は３項目が限界です。
４項目なら真理値表を作ったほうがいいでしょう。
　　　　　　　　notＡ・notＢ　notＡ・Ｂ　Ａ・Ｂ　Ａ・notＢ

notＣ・notＤ
notＣ・Ｄ
Ｃ・Ｄ
Ｃ・notＤ

なお、私の計算ではnotＡＶnotＢ∧(ＣＶnotＤ)になりましたが。

お礼

ベン図以外にも便利な方法があるんですね！
教えてくださったとおり真理値表を作ってみたところymmasayanさんと
同じ回答になりました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

_julius

> (B ∨ (not)C ∧ D)

この中に、もう1個カッコが無いですか？

お礼

この問題ではなかったのですが確かに（Ｂ∨（￢Ｃ　∧　Ｄ））
とすればド・モルガンでうまくいきそうです。
回答ありがとうございました。