2nπと数学の教科書にのっていますが、2πnでないのはなぜですか。

質問

2nπと数学の教科書にのっていますが、2πnでないのはなぜですか。

「円周＝２πｒ」で「πは３．１４１５・・・という定数」だから「２の次にπ、πの次はｒ」だそうです。
πは定数だから２πｎなのではありませんか。

回答No.7

noname#152421 · ベストアンサー

数学的な立場からの回答としては、No.3が正解です。
質問者さんがなぜそれをベストアンサーにしないのかがよくわかりません。

本の執筆や編集の経験があればわかると思いますが、1冊の本の中では定義や公理の設定の仕方はもちろん、数学的にどう表現しても自由な箇所でも独自のルールを決めて記号や表記法を統一して書きます。

同じ本の中で、ある場所で2nπ、別の場所で2πnと書くのは、数学的には可換性をクリアしてさえいれば全く問題ない。しかし本としてはダメ。質問の件はそういうレベルのものです。

> 「円周＝２πｒ」で「πは３．１４１５・・・という定数」だから「２の次にπ、πの次はｒ」だそうです。

これは、それが書かれた本の中、あるいはそれが語られた授業の中だけでのローカルルール、つまり方言です。

それと、小学校とか中学校くらいだと、外の世界で明らかに通用しないへんてこなルールが設定されていることがあります。よく聞く例としては、掛ける数と掛けられる数の前後を取り替えると不正解扱いにするってやつで、質問されているものは同じといっていいくらいそれに近い。

質問者さんのこだわる様子からすると、教科書に書いてあることや学校の先生に言われたことはローカルルールではなくて普遍的なものだと信じ込んでいるようにみえます。あくまでその教科書ではそうしている、その先生の授業ではそうだというだけで、他でも通用すると思ってはいけません。

質問にでてくる2πnと2nπについて、もしかすると2nπと書いた人は「π」の係数が「2n」だと強調したかったのかもしれません。

逆に2πnと書いた場合は「n」の係数が「2π」と強調したかったかもしれません。

また、全く別の理由で英語のアルファベットとギリシア文字のアルファベットが並んでいたらどっちかを先にすると決めていたからかもしれません。

特に理由はなく2nπという書き方を見ることが多かったから慣習としてそうしているだけかもしれません。

どうしてそうしたかの理由はそのローカルルールを設定した本人以外にはわかりませんし、数学的にはどっちでもいいから、どっちが正しいかと問うことに意味はありません。それをどうこうしようとすると、それは数学ではなくて哲学とか宗教の問題になってしまう。

仮に質問者さんの考え方に従うとして、2πrにnを掛けた数の書き方として、2πrn、2nπr、2rnπ、2nrπ、2rπn、2πnrのうちどれにすべきだと考えますか？

お礼

たくさん書いていただいてお疲れ様です。

「本」や数学で使う、書き方の枠組みを問題にしています。そうでなければ、意味がわかればいいので「どうでもいい」のはあたりまえです。そんなこと初めから聞いていませんから。
納得できる体系が欲しいのであって、「書いた本人以外の説明」とか、「方言」とか、人気のない助教授が書いたとか、そんなこと初めから問題にしていません。

私は日本の教科書や社会の一般的な使い方（ウィキペディア日本は例外）から２ｎπｒにすべきか迷っています。
１．単項式は数字と文字の積を表す。
２．一般項ｎは文字の先頭に書く。
３．文字の定数(π)は数字や一般校ｎの後に書く。
４．変数(ｒ)は文字の最後に書く。
もっと細かくできるのですが、これで２ｎπｒ。

補足

数を０からｎまで増やして、文字定数や変数と単項式を作るとき、ｎは繰り返し命令の一部であり、文字定数や変数は宣言できる数です。
その形で一般項ｎは文字定数や変数を包みます。つまりｎ×（文字定数×変数）
従って中学教科書の文字式表現のきまりと合わせ単項式では次のようになります。
１．一般項ｎは文字の先頭に書く。
２．文字定数は数字や一般項ｎの後に書く。
３．変数は文字の最後に書く。
だから２ｎπと書き２πｎとは書かない。
以上で筋道をたてた説明になっています。
別の理由がありますか。

回答No.11

koko_u_u

>納得できる体系がほしいだけです。

あなたが納得できるルールをお好きに適用すればよいでしょう。
「理論的」でなければ納得できないのであれば、そのような体系はありません。

あなたが使用する規準について特に興味はないので補足は不要です。

お礼

何回も答えていただきありがとうございます。

回答No.10

alice_44

混濁した補足質問に、当惑しています。
既に、繰り返し、2nπ か 2πn かは、
文字式の表記上のルールによるのではなく、
両者とも合法である以上、
行間に込めたいニュアンスで使い分けるのだ
と解説しているのですから、
それを論理的に否定できるのでなければ、
再度ルールを質問する必要はありません。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.9

alice_44

数学で使う書き方の枠組みとしては、No.3 にあるとおりです。
No.5～8 が異口同音にそう言っても、受け入れられないのは、
質問者に、あらかじめ意図した「正解」があるからでしょう。

しかし、違うんですよ。

数式は、もともと、ラテン語の文の略記から始まったものです。
同じことを書こうとしても、文章は、人により様々ですね？

数式も同じこと。ny2 のような、文法に反するものを除けば、
2ny でも 2yn でも好きにすればよく、
その自由度の部分に、例えば No.1 のような、
書き手の意図を表現し得るのです。
それを読み取る人には、少ないのですが。

学校教科書では、数学において一般的でない独自の規則を設けて、
2nπ か 2πn に統一しているのかもしれないし、
質問者が指摘しているように、その独自規則に破綻があって、
不統一が起こっているのかもしれませんが、
そういうことに拘ることが、そもそも数学的な発想でありません。

そんな馬鹿なことは、数学教師にでも任せておけばよい。
数学者や学生が、気にするようなことではないのです。

お礼

回答１，２で「ｎとπの並べ方は慣習的なもの。ｎπとするかπｎとするかについては推察できます」
回答３，４で「とちらでもよい」
といっているだから、何度も何度も「どちらでもよい。気にするようなことではない」と、繰り返す必要はありません。

回答５，６で「教科書のようなルールであれば（ローカルルールでも）いい」
といっているのだから、それが質問の意図です。納得できる体系がほしいだけです。

＞あらかじめ意図した「正解」
＞そんな馬鹿なことは、数学教師にでも任せておけばよい。
混濁した回答や性格の悪い回答はしなくても結構です。

１．単項式は数字と文字の積を表す。
２．一般項ｎは文字の先頭に書く。
３．文字の定数(π)は数字や一般項ｎの後に書く。
４．変数(ｒ)は文字の最後に書く。
「文字定数」「文字変数」と呼ぶ時、以上の順番ですっきりします。
「文字の定数」を「文字を使ってはいるけれど、変化しない定まった数のことある」と考えれば、２と３が逆になるのでしょうか。どちらがより理論的でしょう。

とても軽い問題です。暇な時に回答お願いします。

回答No.8

R_Earl

> わからないのなら無理して答えなくていいです。

気分を害したようであれば申し訳ありません。
直接答えられなくても、せめてアドバイスぐらいはできるかな、と思っていたのですが…。

「文字式の書き方のルール全てを記載した文献等はあるかないか」というような
出典を求める問いは、私は悪魔の証明だと思っています。
なのでこの出典に関する問いに対して誰もコメントできないのではないのかと思って
ANo.6のような回答文(というよりアドバイス)を書いてみました。

もし最終的に「ルールに関する事を記した文献の出典」に関する回答が得られず、
それでもそういった文献があるかどうかを知りたいのであれば、
その時にでも「教科書を制定している所に聞く」といった事を試してみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
一般角なとで使われる２ｎπについて聞いているのであって、「文字式の書き方のルール全てを記載した文献等はあるかないか」と聞いてはいません。
何度も丁寧にありがとうございます。

回答No.6

R_Earl

> 私は、教科書のようなものについての、ルールはないのか、
> あるならどうなのか、聞いているのです。

少なくとも私はそのようなルールを見た事がありません。

恐らく質問者さんの問いに答えられる人は
このサイトにいないのではないでしょうか。
教科書に関する色々な事を制定している所だったり、
実際に教科書を作っている所に質問すれば、
ルールがあるのかないのか分かるかもしれません。

これ以外の方法でルールがあるかどうかを調べるためには、
最悪の場合、この世の全ての文献を調べる必要があります。

> 「ｙ×ｎ×２」を「ｙｎ２」と書いてもいいのですか。

数字を文字より後ろに書く書き方はあまり見た事がありませんが、
アルファベット順になっていない場合は良く見かけます。
ab + bc + acはab + bc + caと書かれる事が多いです。
あとは物理学なんかだと、あまりアルファベット順は守られてない気がします。
どちらかというと、考え方にのっとって式を書いているような気がします。

お礼

わからないのなら無理して答えなくていいです。
中学生が学ぶ、いろいろな文字表現のルールで以下のようになっていました。
規則：数は常に文字より先に書くこと。
規則：文字はアルファベット順に書くこと。

一般角などで使う２ｎπという文字の並び方について、あまり「守られて」いなくても、教科書のようなルールであればいいんです。
「ｎが０、１、２、３・・・と順番に続く数のとき、記号列の一番前にそのｎを書く」と思いますが。
英語やフランス語で見たWikipediaの順列とか組合わせの公式もそんな感じでした。三角関数の２ｎπ（とか２ｋπ）は、英語のサイトで２πｋ、フランスのサイトで２ｋπでした。

回答No.5

alice_44

とりあえず、
任意の n について 2nπ = 2πn であることを理解しよう。
小学校の範囲だ。

その上で、式に 2nπ と書くか 2πnと書くかは、
書く人の密かなコダワリの問題であって、
渾身の薀蓄を込めて「ここは 2πn しか！」と書いてみても、
その思いは、ほとんどの場合、式を読む相手には伝わらない。
乙

という訳で、「どちらでもよい。」という結論になる。

お礼

手元の教科書と参考書と資料の、三角関数の一般角について調べたところ全部「＋２ｎπ（n=0,±1,±2・・・）」となっていました。
「どちらでもよい」とか「書く人の密かなコダワリ」というのは「一般に使うとき」ではありませんか。（もう寝るので、変なたとえですが、一般には、バイオリンでも、ヴァイオリンでも、伝わりますから）
私は、教科書のようなものについての、ルールはないのか、あるならどうなのか、聞いているのです。

「ｙ×ｎ×２」を「ｙｎ２」と書いてもいいのですか。

回答No.4

koko_u_u

>意味がわかりません。

理屈をこねまわすような事ではない、という意味です。

お礼

資料に基づいた、回答を期待しています。

＞どちらでもよい。
教科書・参考書以外の、そのような表記については聞いていません。

＞理屈をこねまわすような事ではない、という意味です。
koko_u_uが使う時を基準にして、聞いてはいません。

回答No.3

koko_u_u

どちらでもよい。

お礼

koko_u_uがですか。意味がわかりません。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足の質問

>「1/6πラジアンの一般角」は「1/6π＋２π×ｎ　　（n=0,±1,±2,・・・)」です。
２πは３６０度のことですが、これをなぜ「1/6π＋２ｎπ」と書くのか腑に落ちません。

問題の著者あるいは解答作成者が、2nπを
πの偶数倍（2n倍）として扱おうとしているのか、2πの整数倍として扱おうとしているかで記述が変わる場合がありますね。

「２π×ｎ」は明らかに「2π」（つまり360°の円の1周分の角度）の整数倍（ｎ倍）であることを強調した書き方と推察されますね。sinθやcosθやe^iθなどは周期２πの周期関数ですから　2π（ラジアン）の整数倍を差し引きしても元の関数と同じになるということを
e^(iθ)＝e^(iθ＋2π*n)　（n=0,±1,±2,・・・)
と書いているのでしょう。
πは定数記号、nは任意の整数を表す文字定数です。

「２ｎ×π」と書けば　π（ラジアン）の偶数倍（２ｎ倍）を強調した表現と推察されます。
「２nπ」と「２πn」では
πの偶数倍という意味では２ｎπの方を使います。通常はこの意味の使い方が殆どです。
後者は「２π」のｎ倍といった意味合いが少し感じられますが「ｎ」の２π倍とは考える人はまずいないと思います。

お礼

詳しくありがとうございます。そうすれば

１．２ｎπという表示は、πの偶数倍という意味を含む。
それは、推察や予想といったものであるから、規則や定義といったものは存在しないということですね。

２．「円周＝２πｒ」で「πは３．１４１５・・・という定数」だから「２の次にπ、πの次はｒ」
というのは間違いですか。「推察」や「慣習」という言葉で説明されるものなのですね。

３．数字と記号では、数字を前に書く。例：２ｎ、９ｘｙ
といったルールを、明確に記した文献は、ないのでしょうか。
慣習とか自分の使いかってで適当に書けばいいのかもしれませんね。

回答No.1

info22_

>2nπと数学の教科書にのっていますが、2πnでないのはなぜですか。
角度のπ[単位はラジアン]を扱う時は、πの何倍かで角度を扱う場合が多いので、πの偶数倍、πの奇数倍などの場合、倍数の「2n」や「2n-1」などを前に書く「2nπ」、「(2n-1)π」が慣習的に使われるのではないでしょうか？

>「円周＝２πｒ
この場合、πは円周率を表し、円弧の長さは半径の何倍か、ということを扱うことが多く、
円周は半径の2π倍ということで「2π*r」の意味で「2πr」で円周を表し、
円の面積の場合も、一辺rの正方形の面積に対して、半径rの円の面積が正方形の面積の何倍か、という意味で（倍数）*r^2の表記の仕方の「πr^2」が慣習的に使われているかと思われます。

お礼

早速ありがとうございます。
慣習かもしれませんが、ルールを知りたいのでよろしくお願いします。

「1/6πラジアンの一般角」は「1/6π＋２π×ｎ　　（n=0,±1,±2,・・・)」です。
２πは３６０度のことですが、これをなぜ「1/6π＋２ｎπ」と書くのか腑に落ちません。