0.9999…と1の間の無限小の差？

質問

0.9999…と1の間の無限小の差？

0.9999…=1について考えているときに、以下のような疑問を抱きました。

「ある有理数Aとそれに隣り合う無理数Bを考える。そのようなAとBの差は無限に小さいはずだ。しかし、AとBは違う数なのだからその差は存在しなければならないと思われる。このような"無限小の差"が存在するならば、0.9999…と1との間にも同様の差があるといえないだろうか。」

質問としてまとめますと、
(1)上で述べたような２数A、Bの間の差は存在するのか。数学的にどの様に説明、表現されるのか。
(2)0.9999…と1の間にもそのような差が存在するのか。存在しないならば「AとBとの差」と「0.9999…と1との差」の違いはなんなのか。

何かフワフワした質問で恐縮ですが、宜しくお願いします。

回答No.9

Ishiwara

> 有理数Aとそれに隣り合う無理数Bを考える。そのようなAとBの差は無限に小さいはずだ。
違います。A-B は、無限小ではないし、ゼロでもありません。
A, (A+B)/2, B という、大きさの異なる３つの数があるだけです。

> (1)上で述べたような２数A、Bの間の差は存在するのか。
存在します。上に述べたとおりです。

> (2)0.9999…と1の間にもそのような差が存在するのか。
0.999...も1も有理数ですから、最初の仮定と矛盾します。

回答No.8

gcqd75ce

なるほど。なるほど。
微妙のミクロ。（笑）

オレの理論では微妙ではないな。
例
56組153689が宝くじの当たりとしよう。
56組153685だと0円のハズレだ（笑）とゆうかコレになると、；；泣きか。

数字は人間が作ったものだ。従って自然界では存在してますね（笑）

回答No.7

2ac0uO

『ある有理数Aとそれに隣り合う無理数Bを考える』と言う所に根本的な問題があります。
『有理数に隣り合う無理数』だけでなく、無理数より濃度の低い、『有理数に隣り合う有理数』というのも無意味です。

『ある有理数Ａに隣り合う有理数Ｂが存在する』と考えます。
Ａ＜Ｂと仮定しても一般性は失いません。
ここで、Ｃ＝（Ａ＋Ｂ）／２ と言う数を考えます。
ＡとＢは有理数ですので、Ｃも有理数となります。
又、Ａ＜Ｃ＜Ｂ となります。
最初の仮定から、有理数ＡとＢは隣り合っているはずなのに、ＡとＢの間に別の有理数が存在する事になります。
どこに無理があるかと言えば、『ある有理数Ａに隣り合う有理数Ｂが存在する』と考えた事にあります。

有理数とか無理数と言う話になると、二つの数ＡとＢは等しいか、さもなければ等しく無いと言う事しか言えません。

無限と言うものが絡んで来ると、この様に、時として日常の常識を捨てる必要が生じる場合があります。

回答No.6

alice_44

有理数 A と無理数 B の差は、無限小ではない。
A≠B である以上、有限の値 A-B が計算できる。

与えられた A に対して、適切な B をとれば、
A-B はいくらでも小さくできる…ということと、
一個の B があって、A-B が無限小になる…
ということは、全く異なる。

実数に「無限小」を添加した「超実数」においてさえ、
有理数と無理数の差は、その「標準部分」が 0 でなく、
したがって、差は無限小ではない。

回答No.5

eggmanpat

同じか違うかは単純に引き算をすればよいのです。

１－０．９９９９９９９９９９９９９９９９・・・・・・・・・
＝０．０００００００００００００００００・・・・・・・・・

あなたは、どこかはるか彼方で０以外の数字が現れると信じたいのですか？

回答No.4

nag0720

＞ある有理数Aとそれに隣り合う無理数Bを考える。

「隣り合う」ってどういう意味？　定義は？
そういう無理数Bは存在する？

昔々、ピタゴラスさんは「線は極小の点の有限個の集合である」と考えました。
W_A_Xさんもそういう考えなんでしょうか。

回答No.3

okada2728

0.9999・・・は有理数（循環無限小数）ではないでしょうか。

回答No.2

sanori

こんにちは。

０．９９９・・・　＝　１
です。

「０．９９９・・・」は、「９が無限に続いていく数」ではありません。
「９の個数が、すでに無限に到達している数」です。

まずは、こちらを読んでください。
Wikipedia の名作記事（「秀逸な記事」に選考）です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

また、過去に同様のＱ＆Ａはたくさんあります。（私も回答したことがあります。）
http://oshiete.goo.ne.jp/search_goo/result/?PT=&from=&nsMT=&mt_opt=&qatype=&st=&sr=&tf=&tfy=&tfm=&tfd=&tty=&ttm=&ttd=&good=&code=utf8&MT=0.999&c=392

回答No.1

Anti-Giants

「隣り合う」という表現があいまい。

＞＞ある有理数Aとそれに隣り合う無理数Bを考える
　A < B とする。
有理数の稠密性より、A < Q < B となる有理数Qが存在する。
「有理数Aと無理数Bが隣り合う」という表現は、あいまい。

(1) 「隣り合う」という表現があいまいなため、その差もあいまい。

(2) 一般的に、0.999...は極限値であって、その定義上、1に等しい。