x<tan(x)とx>sin(x)は覚えるものですか？

質問

x<tan(x)とx>sin(x)は覚えるものですか？

x<tan(x)とx>sin(x)という大小関係は
0<x<π/2で成り立ちます。
この大小関係が成り立つということを示すには、
グラフしかないのでしょうか？
三角比などの考え方で示せないのでしょうか？

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

＞　x<tan(x)とx>sin(x)は覚えるものですか？

証明なしに覚えて何の意味があるんだ？　数学に“暗記”は大敵。

原点を中心とする単位円周上に　中心角がθ　(0＜θ＜π/2)の点Ｐをとり、Ｐからx軸に下した垂線の足をＨとする。
Ａ(1、0)で立てた垂線とＯＰとの延長の交点をＢとすると、ＰＨ＜弧　ＡＰ＜ＡＢ　であるから、sinθ＜θ＜tanθ が成立する。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。

図を自分で書いて見ました。
何とか理解できそうです。

回答No.2

Anti-Giants

sin(x)をどう定義しますか？
もしもsin(x)を図を用いて定義するのであれば、sin(x)に関する基本的な関係は図を用いて証明することになります。だって、sin(x)を図で定義したのですから。その図がなければsin(x)について何も述べることはできません。

　もしsin(x)を自然対数eを用いて、オイラーの公式により定義するのであれば、exp(ix)=cos(x)+isin(x)より、2cos(x)=exp(ix)+exp(-ix),2isin(x)=exp(ix)-exp(-ix)です。
あとはexp(x)のテイラー展開などを利用して計算すればokです。

＞＞x<tan(x)とx>sin(x)は覚えるものですか？
　覚えるというか、sin(x),cos(x),tan(x)のテイラー展開、またはマクローリン展開を学習すれば、自然とそれに含まれる不等式です。もしも、「高校数学の内容で」というのであれば、グラフを用いるのが単純でよいと思います。

お礼

親切丁寧なご回答、ありがとうございます。

テイラー展開という新しい視点を提供してくださいました。